Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69125 / 74245
↖ ↑ ↗
← S 23.253964°
E  9.857483°		 ← 280.61 m → S 23.253964°
E  9.860230°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
S 23.256488°
E  9.857483°		 ← 280.61 m →
78 734 m²		 S 23.256488°
E  9.860230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527385711669922 y=0.566448211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527385711669922 × 217)
    floor (0.527385711669922 × 131072)
    floor (69125.5)     		tx = 69125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566448211669922 × 217)
    floor (0.566448211669922 × 131072)
    floor (74245.5)     		ty = 74245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69125 / 74245 ti = "17/69125/74245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69125/74245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69125 ÷ 217
    69125 ÷ 131072     		x = 0.527381896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74245 ÷ 217
    74245 ÷ 131072     		y = 0.566444396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527381896972656 × 2 - 1) × π
    0.0547637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17204553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566444396972656 × 2 - 1) × π
    -0.132888793945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.417482458791069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17204553} λ = 0.17204553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417482458791069))-π/2
    2×atan(0.658703046194454)-π/2
    2×0.582469045421061-π/2
    1.16493809084212-1.57079632675     		φ = -0.40585824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17204553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.857483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40585824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.253964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69125 KachelY 74245 0.17204553 -0.40585824 9.857483 -23.253964
    Oben rechts KachelX + 1 69126 KachelY 74245 0.17209347 -0.40585824 9.860230 -23.253964
    Unten links KachelX 69125 KachelY + 1 74246 0.17204553 -0.40590228 9.857483 -23.256488
    Unten rechts KachelX + 1 69126 KachelY + 1 74246 0.17209347 -0.40590228 9.860230 -23.256488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40585824--0.40590228) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40585824--0.40590228) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17204553-0.17209347) × cos(-0.40585824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.918763896052072 × 6371000     		do = 280.614142836966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17204553-0.17209347) × cos(-0.40590228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.918746507842073 × 6371000     		du = 280.608832030059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40585824)-sin(-0.40590228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918763896052072-0.918746507842073)×R²
    abs(0.17209347-0.17204553)×1.73882099991918e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73882099991918e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73882099991918e-05×40589641000000     		ar = 78733.6456476101m²