Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69125 / 44549
↖ ↑ ↗
← N 49.829125°
E  9.857483°		 ← 197.02 m → N 49.829125°
E  9.860230°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.827353°
E  9.857483°		 ← 197.03 m →
38 825 m²		 N 49.827353°
E  9.860230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527385711669922 y=0.339885711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527385711669922 × 217)
    floor (0.527385711669922 × 131072)
    floor (69125.5)     		tx = 69125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339885711669922 × 217)
    floor (0.339885711669922 × 131072)
    floor (44549.5)     		ty = 44549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69125 / 44549 ti = "17/69125/44549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69125/44549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69125 ÷ 217
    69125 ÷ 131072     		x = 0.527381896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44549 ÷ 217
    44549 ÷ 131072     		y = 0.339881896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527381896972656 × 2 - 1) × π
    0.0547637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17204553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339881896972656 × 2 - 1) × π
    0.320236206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00605171232612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17204553} λ = 0.17204553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00605171232612))-π/2
    2×atan(2.73478196478808)-π/2
    2×1.2202393070842-π/2
    2.4404786141684-1.57079632675     		φ = 0.86968229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17204553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.857483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86968229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.829125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69125 KachelY 44549 0.17204553 0.86968229 9.857483 49.829125
    Oben rechts KachelX + 1 69126 KachelY 44549 0.17209347 0.86968229 9.860230 49.829125
    Unten links KachelX 69125 KachelY + 1 44550 0.17204553 0.86965136 9.857483 49.827353
    Unten rechts KachelX + 1 69126 KachelY + 1 44550 0.17209347 0.86965136 9.860230 49.827353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86968229-0.86965136) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86968229-0.86965136) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17204553-0.17209347) × cos(0.86968229) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645069349638217 × 6371000     		do = 197.020783464556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17204553-0.17209347) × cos(0.86965136) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645092983685923 × 6371000     		du = 197.028001911066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86968229)-sin(0.86965136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645069349638217-0.645092983685923)×R²
    abs(0.17209347-0.17204553)×2.36340477054453e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36340477054453e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36340477054453e-05×40589641000000     		ar = 38824.6476149533m²