Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69123 / 96631
↖ ↑ ↗
← S 64.613281°
E  9.851990°		 ← 130.94 m → S 64.613281°
E  9.854737°		 →
↑
130.92 m
↓
↑
130.92 m
↓
S 64.614459°
E  9.851990°		 ← 130.94 m →
17 143 m²		 S 64.614459°
E  9.854737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527370452880859 y=0.737239837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527370452880859 × 217)
    floor (0.527370452880859 × 131072)
    floor (69123.5)     		tx = 69123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737239837646484 × 217)
    floor (0.737239837646484 × 131072)
    floor (96631.5)     		ty = 96631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69123 / 96631 ti = "17/69123/96631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69123/96631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69123 ÷ 217
    69123 ÷ 131072     		x = 0.527366638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96631 ÷ 217
    96631 ÷ 131072     		y = 0.737236022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527366638183594 × 2 - 1) × π
    0.0547332763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17194966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737236022949219 × 2 - 1) × π
    -0.474472045898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.49059789368565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17194966} λ = 0.17194966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49059789368565))-π/2
    2×atan(0.225237946926502)-π/2
    2×0.221540912113581-π/2
    0.443081824227161-1.57079632675     		φ = -1.12771450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17194966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.851990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12771450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.613281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69123 KachelY 96631 0.17194966 -1.12771450 9.851990 -64.613281
    Oben rechts KachelX + 1 69124 KachelY 96631 0.17199760 -1.12771450 9.854737 -64.613281
    Unten links KachelX 69123 KachelY + 1 96632 0.17194966 -1.12773505 9.851990 -64.614459
    Unten rechts KachelX + 1 69124 KachelY + 1 96632 0.17199760 -1.12773505 9.854737 -64.614459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12771450--1.12773505) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dl = 130.924050000759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12771450--1.12773505) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dr = 130.924050000759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17194966-0.17199760) × cos(-1.12771450) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428725725858999 × 6371000     		do = 130.943872077512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17194966-0.17199760) × cos(-1.12773505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428707160185448 × 6371000     		du = 130.938201642929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12771450)-sin(-1.12773505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428725725858999-0.428707160185448)×R²
    abs(0.17199760-0.17194966)×1.85656735509077e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85656735509077e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85656735509077e-05×40589641000000     		ar = 17143.3308575774m²