Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69116 / 44587
↖ ↑ ↗
← N 49.761752°
E  9.832764°		 ← 197.30 m → N 49.761752°
E  9.835510°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
N 49.759977°
E  9.832764°		 ← 197.30 m →
38 929 m²		 N 49.759977°
E  9.835510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527317047119141 y=0.340175628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527317047119141 × 217)
    floor (0.527317047119141 × 131072)
    floor (69116.5)     		tx = 69116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340175628662109 × 217)
    floor (0.340175628662109 × 131072)
    floor (44587.5)     		ty = 44587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69116 / 44587 ti = "17/69116/44587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69116/44587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69116 ÷ 217
    69116 ÷ 131072     		x = 0.527313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44587 ÷ 217
    44587 ÷ 131072     		y = 0.340171813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527313232421875 × 2 - 1) × π
    0.05462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17161410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340171813964844 × 2 - 1) × π
    0.319656372070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00423011014056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17161410} λ = 0.17161410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00423011014056))-π/2
    2×atan(2.72980481455414)-π/2
    2×1.21965136825923-π/2
    2.43930273651846-1.57079632675     		φ = 0.86850641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17161410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86850641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.761752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69116 KachelY 44587 0.17161410 0.86850641 9.832764 49.761752
    Oben rechts KachelX + 1 69117 KachelY 44587 0.17166204 0.86850641 9.835510 49.761752
    Unten links KachelX 69116 KachelY + 1 44588 0.17161410 0.86847544 9.832764 49.759977
    Unten rechts KachelX + 1 69117 KachelY + 1 44588 0.17166204 0.86847544 9.835510 49.759977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86850641-0.86847544) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dl = 197.309869999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86850641-0.86847544) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dr = 197.309869999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17161410-0.17166204) × cos(0.86850641) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645967421629634 × 6371000     		do = 197.295077767108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17161410-0.17166204) × cos(0.86847544) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645991062733224 × 6371000     		du = 197.302298368666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86850641)-sin(0.86847544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645967421629634-0.645991062733224)×R²
    abs(0.17166204-0.17161410)×2.36411035892115e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36411035892115e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36411035892115e-05×40589641000000     		ar = 38928.9784968842m²