Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69112 / 96584
↖ ↑ ↗
← S 64.557881°
E  9.821777°		 ← 131.21 m → S 64.557881°
E  9.824524°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
S 64.559061°
E  9.821777°		 ← 131.20 m →
17 212 m²		 S 64.559061°
E  9.824524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527286529541016 y=0.736881256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527286529541016 × 217)
    floor (0.527286529541016 × 131072)
    floor (69112.5)     		tx = 69112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736881256103516 × 217)
    floor (0.736881256103516 × 131072)
    floor (96584.5)     		ty = 96584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69112 / 96584 ti = "17/69112/96584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69112/96584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69112 ÷ 217
    69112 ÷ 131072     		x = 0.52728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96584 ÷ 217
    96584 ÷ 131072     		y = 0.73687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52728271484375 × 2 - 1) × π
    0.0545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17142235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.4737548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4883448594035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17142235} λ = 0.17142235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4883448594035))-π/2
    2×atan(0.225745987844461)-π/2
    2×0.222024370780476-π/2
    0.444048741560952-1.57079632675     		φ = -1.12674759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17142235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12674759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.557881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69112 KachelY 96584 0.17142235 -1.12674759 9.821777 -64.557881
    Oben rechts KachelX + 1 69113 KachelY 96584 0.17147029 -1.12674759 9.824524 -64.557881
    Unten links KachelX 69112 KachelY + 1 96585 0.17142235 -1.12676818 9.821777 -64.559061
    Unten rechts KachelX + 1 69113 KachelY + 1 96585 0.17147029 -1.12676818 9.824524 -64.559061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12674759--1.12676818) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dl = 131.178890000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12674759--1.12676818) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dr = 131.178890000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17142235-0.17147029) × cos(-1.12674759) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429599065354862 × 6371000     		do = 131.210612439307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17142235-0.17147029) × cos(-1.12676818) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429580472087442 × 6371000     		du = 131.204933576846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12674759)-sin(-1.12676818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429599065354862-0.429580472087442)×R²
    abs(0.17147029-0.17142235)×1.85932674204858e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85932674204858e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85932674204858e-05×40589641000000     		ar = 17211.6900232746m²