Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69111 / 44569
↖ ↑ ↗
← N 49.793677°
E  9.819031°		 ← 197.12 m → N 49.793677°
E  9.821777°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.791904°
E  9.819031°		 ← 197.13 m →
38 870 m²		 N 49.791904°
E  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527278900146484 y=0.340038299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527278900146484 × 217)
    floor (0.527278900146484 × 131072)
    floor (69111.5)     		tx = 69111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340038299560547 × 217)
    floor (0.340038299560547 × 131072)
    floor (44569.5)     		ty = 44569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69111 / 44569 ti = "17/69111/44569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69111/44569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69111 ÷ 217
    69111 ÷ 131072     		x = 0.527275085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44569 ÷ 217
    44569 ÷ 131072     		y = 0.340034484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527275085449219 × 2 - 1) × π
    0.0545501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17137442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340034484863281 × 2 - 1) × π
    0.319931030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00509297433372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17137442} λ = 0.17137442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00509297433372))-π/2
    2×atan(2.73216128189237)-π/2
    2×1.21992996755992-π/2
    2.43985993511985-1.57079632675     		φ = 0.86906361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17137442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.819031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86906361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.793677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69111 KachelY 44569 0.17137442 0.86906361 9.819031 49.793677
    Oben rechts KachelX + 1 69112 KachelY 44569 0.17142235 0.86906361 9.821777 49.793677
    Unten links KachelX 69111 KachelY + 1 44570 0.17137442 0.86903266 9.819031 49.791904
    Unten rechts KachelX + 1 69112 KachelY + 1 44570 0.17142235 0.86903266 9.821777 49.791904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86906361-0.86903266) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86906361-0.86903266) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17137442-0.17142235) × cos(0.86906361) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.645541974408355 × 6371000     		do = 197.12400775555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17137442-0.17142235) × cos(0.86903266) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		du = 197.131225589655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86906361)-sin(0.86903266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645541974408355-0.645565611381508)×R²
    abs(0.17142235-0.17137442)×2.36369731531072e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36369731531072e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36369731531072e-05×40589641000000     		ar = 38870.1064212103m²