Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69106 / 96606
↖ ↑ ↗
← S 64.583827°
E  9.805298°		 ← 131.09 m → S 64.583827°
E  9.808045°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
S 64.585006°
E  9.805298°		 ← 131.08 m →
17 179 m²		 S 64.585006°
E  9.808045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527240753173828 y=0.737049102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527240753173828 × 217)
    floor (0.527240753173828 × 131072)
    floor (69106.5)     		tx = 69106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737049102783203 × 217)
    floor (0.737049102783203 × 131072)
    floor (96606.5)     		ty = 96606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69106 / 96606 ti = "17/69106/96606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69106/96606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69106 ÷ 217
    69106 ÷ 131072     		x = 0.527236938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96606 ÷ 217
    96606 ÷ 131072     		y = 0.737045288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527236938476562 × 2 - 1) × π
    0.054473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17113473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737045288085938 × 2 - 1) × π
    -0.474090576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48939947119514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17113473} λ = 0.17113473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48939947119514))-π/2
    2×atan(0.225508038957669)-π/2
    2×0.221797948498025-π/2
    0.443595896996049-1.57079632675     		φ = -1.12720043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17113473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.805298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12720043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.583827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69106 KachelY 96606 0.17113473 -1.12720043 9.805298 -64.583827
    Oben rechts KachelX + 1 69107 KachelY 96606 0.17118267 -1.12720043 9.808045 -64.583827
    Unten links KachelX 69106 KachelY + 1 96607 0.17113473 -1.12722100 9.805298 -64.585006
    Unten rechts KachelX + 1 69107 KachelY + 1 96607 0.17118267 -1.12722100 9.808045 -64.585006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12720043--1.12722100) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12720043--1.12722100) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17113473-0.17118267) × cos(-1.12720043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429190097864063 × 6371000     		do = 131.085703240794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17113473-0.17118267) × cos(-1.12722100) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429171518657525 × 6371000     		du = 131.080028672888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12720043)-sin(-1.12722100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429190097864063-0.429171518657525)×R²
    abs(0.17118267-0.17113473)×1.85792065380275e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85792065380275e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85792065380275e-05×40589641000000     		ar = 17178.6022760154m²