Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6910 / 7426
↖ ↑ ↗
← N 69.649446°
W104.084473°		 ← 424.84 m → N 69.649446°
W104.073486°		 →
↑
424.88 m
↓
↑
424.88 m
↓
N 69.645625°
W104.084473°		 ← 424.92 m →
180 524 m²		 N 69.645625°
W104.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210891723632812 y=0.226638793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210891723632812 × 215)
    floor (0.210891723632812 × 32768)
    floor (6910.5)     		tx = 6910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226638793945312 × 215)
    floor (0.226638793945312 × 32768)
    floor (7426.5)     		ty = 7426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6910 / 7426 ti = "15/6910/7426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6910/7426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6910 ÷ 215
    6910 ÷ 32768     		x = 0.21087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7426 ÷ 215
    7426 ÷ 32768     		y = 0.22662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81661675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22662353515625 × 2 - 1) × π
    0.5467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71767498718585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81661675} λ = -1.81661675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71767498718585))-π/2
    2×atan(5.57155944644416)-π/2
    2×1.3932042440527-π/2
    2.7864084881054-1.57079632675     		φ = 1.21561216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81661675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21561216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.649446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6910 KachelY 7426 -1.81661675 1.21561216 -104.084473 69.649446
    Oben rechts KachelX + 1 6911 KachelY 7426 -1.81642500 1.21561216 -104.073486 69.649446
    Unten links KachelX 6910 KachelY + 1 7427 -1.81661675 1.21554547 -104.084473 69.645625
    Unten rechts KachelX + 1 6911 KachelY + 1 7427 -1.81642500 1.21554547 -104.073486 69.645625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21561216-1.21554547) × R
    6.66900000001469e-05 × 6371000     		dl = 424.881990000936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21561216-1.21554547) × R
    6.66900000001469e-05 × 6371000     		dr = 424.881990000936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81661675--1.81642500) × cos(1.21561216) × R
    0.000191749999999935 × 0.347763042688718 × 6371000     		do = 424.840982647819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81661675--1.81642500) × cos(1.21554547) × R
    0.000191749999999935 × 0.347825569289469 × 6371000     		du = 424.917367597466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21561216)-sin(1.21554547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347763042688718-0.347825569289469)×R²
    abs(-1.81642500--1.81661675)×6.25266007510117e-05×R²
    0.000191749999999935×6.25266007510117e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.25266007510117e-05×40589641000000     		ar = 180523.509502898m²