Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6910 / 5371
↖ ↑ ↗
← N 52.549636°
W 28.168945°		 ← 1 485.66 m → N 52.549636°
W 28.146973°		 →
↑
1 485.91 m
↓
↑
1 485.91 m
↓
N 52.536273°
W 28.168945°		 ← 1 486.11 m →
2 207 883 m²		 N 52.536273°
W 28.146973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421783447265625 y=0.327850341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421783447265625 × 214)
    floor (0.421783447265625 × 16384)
    floor (6910.5)     		tx = 6910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327850341796875 × 214)
    floor (0.327850341796875 × 16384)
    floor (5371.5)     		ty = 5371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6910 / 5371 ti = "14/6910/5371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6910/5371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6910 ÷ 214
    6910 ÷ 16384     		x = 0.4217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5371 ÷ 214
    5371 ÷ 16384     		y = 0.32781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49164084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32781982421875 × 2 - 1) × π
    0.3443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08183995062543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49164084} λ = -0.49164084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08183995062543))-π/2
    2×atan(2.95010260359169)-π/2
    2×1.24398024849943-π/2
    2.48796049699885-1.57079632675     		φ = 0.91716417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49164084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91716417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.549636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6910 KachelY 5371 -0.49164084 0.91716417 -28.168945 52.549636
    Oben rechts KachelX + 1 6911 KachelY 5371 -0.49125735 0.91716417 -28.146973 52.549636
    Unten links KachelX 6910 KachelY + 1 5372 -0.49164084 0.91693094 -28.168945 52.536273
    Unten rechts KachelX + 1 6911 KachelY + 1 5372 -0.49125735 0.91693094 -28.146973 52.536273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91716417-0.91693094) × R
    0.000233229999999973 × 6371000     		dl = 1485.90832999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91716417-0.91693094) × R
    0.000233229999999973 × 6371000     		dr = 1485.90832999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49164084--0.49125735) × cos(0.91716417) × R
    0.000383490000000042 × 0.608073908581034 × 6371000     		do = 1485.65516685845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49164084--0.49125735) × cos(0.91693094) × R
    0.000383490000000042 × 0.608259048771312 × 6371000     		du = 1486.10750410956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91716417)-sin(0.91693094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608073908581034-0.608259048771312)×R²
    abs(-0.49125735--0.49164084)×0.000185140190278155×R²
    0.000383490000000042×0.000185140190278155×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185140190278155×40589641000000     		ar = 2207883.4637956m²