Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69089 / 70112
↖ ↑ ↗
← S 12.468760°
E  9.758606°		 ← 298.22 m → S 12.468760°
E  9.761352°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
S 12.471442°
E  9.758606°		 ← 298.22 m →
88 918 m²		 S 12.471442°
E  9.761352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527111053466797 y=0.534915924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527111053466797 × 217)
    floor (0.527111053466797 × 131072)
    floor (69089.5)     		tx = 69089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534915924072266 × 217)
    floor (0.534915924072266 × 131072)
    floor (70112.5)     		ty = 70112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69089 / 70112 ti = "17/69089/70112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69089/70112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69089 ÷ 217
    69089 ÷ 131072     		x = 0.527107238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70112 ÷ 217
    70112 ÷ 131072     		y = 0.534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527107238769531 × 2 - 1) × π
    0.0542144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17031980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534912109375 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.219359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17031980} λ = 0.17031980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219359252661377))-π/2
    2×atan(0.803033174521575)-π/2
    2×0.676587704316204-π/2
    1.35317540863241-1.57079632675     		φ = -0.21762092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17031980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.758606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21762092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.468760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69089 KachelY 70112 0.17031980 -0.21762092 9.758606 -12.468760
    Oben rechts KachelX + 1 69090 KachelY 70112 0.17036774 -0.21762092 9.761352 -12.468760
    Unten links KachelX 69089 KachelY + 1 70113 0.17031980 -0.21766772 9.758606 -12.471442
    Unten rechts KachelX + 1 69090 KachelY + 1 70113 0.17036774 -0.21766772 9.761352 -12.471442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21762092--0.21766772) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21762092--0.21766772) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17031980-0.17036774) × cos(-0.21762092) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976413872773476 × 6371000     		do = 298.221929638082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17031980-0.17036774) × cos(-0.21766772) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976403767243974 × 6371000     		du = 298.218843149256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21762092)-sin(-0.21766772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976413872773476-0.976403767243974)×R²
    abs(0.17036774-0.17031980)×1.01055295027574e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.01055295027574e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.01055295027574e-05×40589641000000     		ar = 88918.2254404511m²