Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69087 / 70113
↖ ↑ ↗
← S 12.471442°
E  9.753113°		 ← 298.22 m → S 12.471442°
E  9.755860°		 →
↑
298.23 m
↓
↑
298.23 m
↓
S 12.474124°
E  9.753113°		 ← 298.22 m →
88 936 m²		 S 12.474124°
E  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527095794677734 y=0.534923553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527095794677734 × 217)
    floor (0.527095794677734 × 131072)
    floor (69087.5)     		tx = 69087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534923553466797 × 217)
    floor (0.534923553466797 × 131072)
    floor (70113.5)     		ty = 70113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69087 / 70113 ti = "17/69087/70113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69087/70113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69087 ÷ 217
    69087 ÷ 131072     		x = 0.527091979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70113 ÷ 217
    70113 ÷ 131072     		y = 0.534919738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527091979980469 × 2 - 1) × π
    0.0541839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17022393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534919738769531 × 2 - 1) × π
    -0.0698394775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.219407189560997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17022393} λ = 0.17022393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219407189560997))-π/2
    2×atan(0.802994680523545)-π/2
    2×0.67656430131041-π/2
    1.35312860262082-1.57079632675     		φ = -0.21766772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17022393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.753113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21766772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.471442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69087 KachelY 70113 0.17022393 -0.21766772 9.753113 -12.471442
    Oben rechts KachelX + 1 69088 KachelY 70113 0.17027187 -0.21766772 9.755860 -12.471442
    Unten links KachelX 69087 KachelY + 1 70114 0.17022393 -0.21771453 9.753113 -12.474124
    Unten rechts KachelX + 1 69088 KachelY + 1 70114 0.17027187 -0.21771453 9.755860 -12.474124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21766772--0.21771453) × R
    4.68099999999805e-05 × 6371000     		dl = 298.226509999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21766772--0.21771453) × R
    4.68099999999805e-05 × 6371000     		dr = 298.226509999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17022393-0.17027187) × cos(-0.21766772) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976403767243974 × 6371000     		do = 298.218843149256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17022393-0.17027187) × cos(-0.21771453) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976393657415926 × 6371000     		du = 298.215755347543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21766772)-sin(-0.21771453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976403767243974-0.976393657415926)×R²
    abs(0.17027187-0.17022393)×1.01098280480549e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.01098280480549e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.01098280480549e-05×40589641000000     		ar = 88936.3043926634m²