Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69086 / 70114
↖ ↑ ↗
← S 12.474124°
E  9.750366°		 ← 298.22 m → S 12.474124°
E  9.753113°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
S 12.476805°
E  9.750366°		 ← 298.21 m →
88 916 m²		 S 12.476805°
E  9.753113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527088165283203 y=0.534931182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527088165283203 × 217)
    floor (0.527088165283203 × 131072)
    floor (69086.5)     		tx = 69086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534931182861328 × 217)
    floor (0.534931182861328 × 131072)
    floor (70114.5)     		ty = 70114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69086 / 70114 ti = "17/69086/70114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69086/70114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69086 ÷ 217
    69086 ÷ 131072     		x = 0.527084350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70114 ÷ 217
    70114 ÷ 131072     		y = 0.534927368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527084350585938 × 2 - 1) × π
    0.054168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17017599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534927368164062 × 2 - 1) × π
    -0.069854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.219455126460617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17017599} λ = 0.17017599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219455126460617))-π/2
    2×atan(0.802956188370754)-π/2
    2×0.676540898546885-π/2
    1.35308179709377-1.57079632675     		φ = -0.21771453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17017599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.750366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21771453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.474124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69086 KachelY 70114 0.17017599 -0.21771453 9.750366 -12.474124
    Oben rechts KachelX + 1 69087 KachelY 70114 0.17022393 -0.21771453 9.753113 -12.474124
    Unten links KachelX 69086 KachelY + 1 70115 0.17017599 -0.21776133 9.750366 -12.476805
    Unten rechts KachelX + 1 69087 KachelY + 1 70115 0.17022393 -0.21776133 9.753113 -12.476805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21771453--0.21776133) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21771453--0.21776133) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17017599-0.17022393) × cos(-0.21771453) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976393657415926 × 6371000     		do = 298.215755347543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17017599-0.17022393) × cos(-0.21776133) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976383547608871 × 6371000     		du = 298.212667552242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21771453)-sin(-0.21776133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976393657415926-0.976383547608871)×R²
    abs(0.17022393-0.17017599)×1.01098070547367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.01098070547367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.01098070547367e-05×40589641000000     		ar = 88916.3843019757m²