Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69083 / 96532
↖ ↑ ↗
← S 64.496456°
E  9.742126°		 ← 131.51 m → S 64.496456°
E  9.744873°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
S 64.497638°
E  9.742126°		 ← 131.50 m →
17 292 m²		 S 64.497638°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527065277099609 y=0.736484527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527065277099609 × 217)
    floor (0.527065277099609 × 131072)
    floor (69083.5)     		tx = 69083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736484527587891 × 217)
    floor (0.736484527587891 × 131072)
    floor (96532.5)     		ty = 96532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69083 / 96532 ti = "17/69083/96532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69083/96532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69083 ÷ 217
    69083 ÷ 131072     		x = 0.527061462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96532 ÷ 217
    96532 ÷ 131072     		y = 0.736480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527061462402344 × 2 - 1) × π
    0.0541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17003218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.47296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48585214062326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17003218} λ = 0.17003218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48585214062326))-π/2
    2×atan(0.226309411043978)-π/2
    2×0.22256040858974-π/2
    0.445120817179479-1.57079632675     		φ = -1.12567551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17003218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.742126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12567551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.496456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69083 KachelY 96532 0.17003218 -1.12567551 9.742126 -64.496456
    Oben rechts KachelX + 1 69084 KachelY 96532 0.17008012 -1.12567551 9.744873 -64.496456
    Unten links KachelX 69083 KachelY + 1 96533 0.17003218 -1.12569615 9.742126 -64.497638
    Unten rechts KachelX + 1 69084 KachelY + 1 96533 0.17008012 -1.12569615 9.744873 -64.497638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12567551--1.12569615) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12567551--1.12569615) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-1.12567551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430566927686644 × 6371000     		do = 131.50622250821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-1.12569615) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43054829878435 × 6371000     		du = 131.500532761941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12567551)-sin(-1.12569615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430566927686644-0.43054829878435)×R²
    abs(0.17008012-0.17003218)×1.86289022943154e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86289022943154e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86289022943154e-05×40589641000000     		ar = 17292.3575111189m²