Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69083 / 73103
↖ ↑ ↗
← S 20.342052°
E  9.742126°		 ← 286.38 m → S 20.342052°
E  9.744873°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
S 20.344627°
E  9.742126°		 ← 286.37 m →
82 011 m²		 S 20.344627°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527065277099609 y=0.557735443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527065277099609 × 217)
    floor (0.527065277099609 × 131072)
    floor (69083.5)     		tx = 69083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557735443115234 × 217)
    floor (0.557735443115234 × 131072)
    floor (73103.5)     		ty = 73103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69083 / 73103 ti = "17/69083/73103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69083/73103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69083 ÷ 217
    69083 ÷ 131072     		x = 0.527061462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73103 ÷ 217
    73103 ÷ 131072     		y = 0.557731628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527061462402344 × 2 - 1) × π
    0.0541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17003218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557731628417969 × 2 - 1) × π
    -0.115463256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.362738519424965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17003218} λ = 0.17003218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362738519424965))-π/2
    2×atan(0.695768339621135)-π/2
    2×0.607880274219879-π/2
    1.21576054843976-1.57079632675     		φ = -0.35503578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17003218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.742126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35503578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.342052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69083 KachelY 73103 0.17003218 -0.35503578 9.742126 -20.342052
    Oben rechts KachelX + 1 69084 KachelY 73103 0.17008012 -0.35503578 9.744873 -20.342052
    Unten links KachelX 69083 KachelY + 1 73104 0.17003218 -0.35508073 9.742126 -20.344627
    Unten rechts KachelX + 1 69084 KachelY + 1 73104 0.17008012 -0.35508073 9.744873 -20.344627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35503578--0.35508073) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35503578--0.35508073) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-0.35503578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937634051435892 × 6371000     		do = 286.377574008984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-0.35508073) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937618424793717 × 6371000     		du = 286.372801230233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35503578)-sin(-0.35508073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937634051435892-0.937618424793717)×R²
    abs(0.17008012-0.17003218)×1.56266421751372e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.56266421751372e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.56266421751372e-05×40589641000000     		ar = 82011.1096123837m²