Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69083 / 73102
↖ ↑ ↗
← S 20.339476°
E  9.742126°		 ← 286.38 m → S 20.339476°
E  9.744873°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
S 20.342052°
E  9.742126°		 ← 286.38 m →
82 012 m²		 S 20.342052°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527065277099609 y=0.557727813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527065277099609 × 217)
    floor (0.527065277099609 × 131072)
    floor (69083.5)     		tx = 69083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557727813720703 × 217)
    floor (0.557727813720703 × 131072)
    floor (73102.5)     		ty = 73102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69083 / 73102 ti = "17/69083/73102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69083/73102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69083 ÷ 217
    69083 ÷ 131072     		x = 0.527061462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73102 ÷ 217
    73102 ÷ 131072     		y = 0.557723999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527061462402344 × 2 - 1) × π
    0.0541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17003218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557723999023438 × 2 - 1) × π
    -0.115447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.362690582525345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17003218} λ = 0.17003218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362690582525345))-π/2
    2×atan(0.695801693397622)-π/2
    2×0.607902748041838-π/2
    1.21580549608368-1.57079632675     		φ = -0.35499083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17003218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.742126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35499083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.339476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69083 KachelY 73102 0.17003218 -0.35499083 9.742126 -20.339476
    Oben rechts KachelX + 1 69084 KachelY 73102 0.17008012 -0.35499083 9.744873 -20.339476
    Unten links KachelX 69083 KachelY + 1 73103 0.17003218 -0.35503578 9.742126 -20.342052
    Unten rechts KachelX + 1 69084 KachelY + 1 73103 0.17008012 -0.35503578 9.744873 -20.342052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35499083--0.35503578) × R
    4.49500000000436e-05 × 6371000     		dl = 286.376450000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35499083--0.35503578) × R
    4.49500000000436e-05 × 6371000     		dr = 286.376450000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-0.35499083) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937649676183576 × 6371000     		do = 286.382346209107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-0.35503578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937634051435892 × 6371000     		du = 286.377574008984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35499083)-sin(-0.35503578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937649676183576-0.937634051435892)×R²
    abs(0.17008012-0.17003218)×1.56247476833515e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.56247476833515e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.56247476833515e-05×40589641000000     		ar = 82012.4763409749m²