Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69083 / 73041
↖ ↑ ↗
← S 20.182301°
E  9.742126°		 ← 286.67 m → S 20.182301°
E  9.744873°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
S 20.184879°
E  9.742126°		 ← 286.67 m →
82 169 m²		 S 20.184879°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527065277099609 y=0.557262420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527065277099609 × 217)
    floor (0.527065277099609 × 131072)
    floor (69083.5)     		tx = 69083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557262420654297 × 217)
    floor (0.557262420654297 × 131072)
    floor (73041.5)     		ty = 73041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69083 / 73041 ti = "17/69083/73041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69083/73041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69083 ÷ 217
    69083 ÷ 131072     		x = 0.527061462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73041 ÷ 217
    73041 ÷ 131072     		y = 0.557258605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527061462402344 × 2 - 1) × π
    0.0541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17003218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557258605957031 × 2 - 1) × π
    -0.114517211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.359766431648521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17003218} λ = 0.17003218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359766431648521))-π/2
    2×atan(0.697839300212437)-π/2
    2×0.609274357805221-π/2
    1.21854871561044-1.57079632675     		φ = -0.35224761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17003218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.742126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35224761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.182301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69083 KachelY 73041 0.17003218 -0.35224761 9.742126 -20.182301
    Oben rechts KachelX + 1 69084 KachelY 73041 0.17008012 -0.35224761 9.744873 -20.182301
    Unten links KachelX 69083 KachelY + 1 73042 0.17003218 -0.35229260 9.742126 -20.184879
    Unten rechts KachelX + 1 69084 KachelY + 1 73042 0.17008012 -0.35229260 9.744873 -20.184879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35224761--0.35229260) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dl = 286.631290000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35224761--0.35229260) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dr = 286.631290000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-0.35224761) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938599640217875 × 6371000     		do = 286.672489677256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17003218-0.17008012) × cos(-0.35229260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938584117345315 × 6371000     		du = 286.667748592418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35224761)-sin(-0.35229260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938599640217875-0.938584117345315)×R²
    abs(0.17008012-0.17003218)×1.55228725596812e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55228725596812e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55228725596812e-05×40589641000000     		ar = 82168.6260659353m²