Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69082 / 73040
↖ ↑ ↗
← S 20.179724°
E  9.739380°		 ← 286.62 m → S 20.179724°
E  9.742126°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
S 20.182301°
E  9.739380°		 ← 286.61 m →
82 153 m²		 S 20.182301°
E  9.742126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527057647705078 y=0.557254791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527057647705078 × 217)
    floor (0.527057647705078 × 131072)
    floor (69082.5)     		tx = 69082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557254791259766 × 217)
    floor (0.557254791259766 × 131072)
    floor (73040.5)     		ty = 73040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69082 / 73040 ti = "17/69082/73040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69082/73040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69082 ÷ 217
    69082 ÷ 131072     		x = 0.527053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73040 ÷ 217
    73040 ÷ 131072     		y = 0.5572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    0.054107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16998425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.359718494748901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16998425} λ = 0.16998425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359718494748901))-π/2
    2×atan(0.697872753266734)-π/2
    2×0.609296854769606-π/2
    1.21859370953921-1.57079632675     		φ = -0.35220262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16998425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35220262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69082 KachelY 73040 0.16998425 -0.35220262 9.739380 -20.179724
    Oben rechts KachelX + 1 69083 KachelY 73040 0.17003218 -0.35220262 9.742126 -20.179724
    Unten links KachelX 69082 KachelY + 1 73041 0.16998425 -0.35224761 9.739380 -20.182301
    Unten rechts KachelX + 1 69083 KachelY + 1 73041 0.17003218 -0.35224761 9.742126 -20.182301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35220262--0.35224761) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dl = 286.63128999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35220262--0.35224761) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dr = 286.63128999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16998425-0.17003218) × cos(-0.35220262) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938615161190615 × 6371000     		do = 286.617431009953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16998425-0.17003218) × cos(-0.35224761) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938599640217875 × 6371000     		du = 286.612691494209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35220262)-sin(-0.35224761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938615161190615-0.938599640217875)×R²
    abs(0.17003218-0.16998425)×1.55209727399352e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.55209727399352e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.55209727399352e-05×40589641000000     		ar = 82152.8447539378m²