Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69081 / 73105
↖ ↑ ↗
← S 20.347202°
E  9.736633°		 ← 286.37 m → S 20.347202°
E  9.739380°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
S 20.349778°
E  9.736633°		 ← 286.36 m →
82 008 m²		 S 20.349778°
E  9.739380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527050018310547 y=0.557750701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527050018310547 × 217)
    floor (0.527050018310547 × 131072)
    floor (69081.5)     		tx = 69081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557750701904297 × 217)
    floor (0.557750701904297 × 131072)
    floor (73105.5)     		ty = 73105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69081 / 73105 ti = "17/69081/73105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69081/73105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69081 ÷ 217
    69081 ÷ 131072     		x = 0.527046203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73105 ÷ 217
    73105 ÷ 131072     		y = 0.557746887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527046203613281 × 2 - 1) × π
    0.0540924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16993631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557746887207031 × 2 - 1) × π
    -0.115493774414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.362834393224205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16993631} λ = 0.16993631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362834393224205))-π/2
    2×atan(0.695701636864599)-π/2
    2×0.607835327699501-π/2
    1.215670655399-1.57079632675     		φ = -0.35512567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16993631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.736633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35512567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.347202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69081 KachelY 73105 0.16993631 -0.35512567 9.736633 -20.347202
    Oben rechts KachelX + 1 69082 KachelY 73105 0.16998425 -0.35512567 9.739380 -20.347202
    Unten links KachelX 69081 KachelY + 1 73106 0.16993631 -0.35517062 9.736633 -20.349778
    Unten rechts KachelX + 1 69082 KachelY + 1 73106 0.16998425 -0.35517062 9.739380 -20.349778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35512567--0.35517062) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35512567--0.35517062) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16993631-0.16998425) × cos(-0.35512567) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937602799734163 × 6371000     		do = 286.368028934857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16993631-0.16998425) × cos(-0.35517062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937587169303521 × 6371000     		du = 286.363254999011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35512567)-sin(-0.35517062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937602799734163-0.937587169303521)×R²
    abs(0.16998425-0.16993631)×1.56304306428989e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.56304306428989e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.56304306428989e-05×40589641000000     		ar = 82008.3759621744m²