Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69081 / 73013
↖ ↑ ↗
← S 20.110102°
E  9.736633°		 ← 286.81 m → S 20.110102°
E  9.739380°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
S 20.112681°
E  9.736633°		 ← 286.80 m →
82 243 m²		 S 20.112681°
E  9.739380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527050018310547 y=0.557048797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527050018310547 × 217)
    floor (0.527050018310547 × 131072)
    floor (69081.5)     		tx = 69081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557048797607422 × 217)
    floor (0.557048797607422 × 131072)
    floor (73013.5)     		ty = 73013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69081 / 73013 ti = "17/69081/73013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69081/73013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69081 ÷ 217
    69081 ÷ 131072     		x = 0.527046203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73013 ÷ 217
    73013 ÷ 131072     		y = 0.557044982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527046203613281 × 2 - 1) × π
    0.0540924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16993631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557044982910156 × 2 - 1) × π
    -0.114089965820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.35842419845916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16993631} λ = 0.16993631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35842419845916))-π/2
    2×atan(0.698776592173494)-π/2
    2×0.60990441330486-π/2
    1.21980882660972-1.57079632675     		φ = -0.35098750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16993631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.736633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35098750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.110102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69081 KachelY 73013 0.16993631 -0.35098750 9.736633 -20.110102
    Oben rechts KachelX + 1 69082 KachelY 73013 0.16998425 -0.35098750 9.739380 -20.110102
    Unten links KachelX 69081 KachelY + 1 73014 0.16993631 -0.35103251 9.736633 -20.112681
    Unten rechts KachelX + 1 69082 KachelY + 1 73014 0.16998425 -0.35103251 9.739380 -20.112681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35098750--0.35103251) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35098750--0.35103251) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16993631-0.16998425) × cos(-0.35098750) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939033643300001 × 6371000     		do = 286.805045389777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16993631-0.16998425) × cos(-0.35103251) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939018166773379 × 6371000     		du = 286.800318460181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35098750)-sin(-0.35103251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939033643300001-0.939018166773379)×R²
    abs(0.16998425-0.16993631)×1.5476526621705e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5476526621705e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5476526621705e-05×40589641000000     		ar = 82243.1671072548m²