Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6908 / 5882
↖ ↑ ↗
← N 74.793143°
W104.106445°		 ← 320.42 m → N 74.793143°
W104.095459°		 →
↑
320.46 m
↓
↑
320.46 m
↓
N 74.790261°
W104.106445°		 ← 320.48 m →
102 693 m²		 N 74.790261°
W104.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210830688476562 y=0.179519653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210830688476562 × 215)
    floor (0.210830688476562 × 32768)
    floor (6908.5)     		tx = 6908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179519653320312 × 215)
    floor (0.179519653320312 × 32768)
    floor (5882.5)     		ty = 5882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6908 / 5882 ti = "15/6908/5882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6908/5882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6908 ÷ 215
    6908 ÷ 32768     		x = 0.2108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5882 ÷ 215
    5882 ÷ 32768     		y = 0.17950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81700024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17950439453125 × 2 - 1) × π
    0.6409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01373327923932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81700024} λ = -1.81700024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01373327923932))-π/2
    2×atan(7.49123206933299)-π/2
    2×1.4380914667541-π/2
    2.8761829335082-1.57079632675     		φ = 1.30538661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81700024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.106445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30538661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.793143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6908 KachelY 5882 -1.81700024 1.30538661 -104.106445 74.793143
    Oben rechts KachelX + 1 6909 KachelY 5882 -1.81680850 1.30538661 -104.095459 74.793143
    Unten links KachelX 6908 KachelY + 1 5883 -1.81700024 1.30533631 -104.106445 74.790261
    Unten rechts KachelX + 1 6909 KachelY + 1 5883 -1.81680850 1.30533631 -104.095459 74.790261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30538661-1.30533631) × R
    5.03000000000586e-05 × 6371000     		dl = 320.461300000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30538661-1.30533631) × R
    5.03000000000586e-05 × 6371000     		dr = 320.461300000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81700024--1.81680850) × cos(1.30538661) × R
    0.000191739999999996 × 0.262304660761629 × 6371000     		do = 320.424957614396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81700024--1.81680850) × cos(1.30533631) × R
    0.000191739999999996 × 0.262353199180877 × 6371000     		du = 320.4842509601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30538661)-sin(1.30533631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262304660761629-0.262353199180877)×R²
    abs(-1.81680850--1.81700024)×4.85384192485117e-05×R²
    0.000191739999999996×4.85384192485117e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.85384192485117e-05×40589641000000     		ar = 102693.299102942m²