Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6908 / 2301
↖ ↑ ↗
← N 82.313302°
W104.106445°		 ← 163.39 m → N 82.313302°
W104.095459°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 82.311832°
W104.106445°		 ← 163.42 m →
26 704 m²		 N 82.311832°
W104.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210830688476562 y=0.0702362060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210830688476562 × 215)
    floor (0.210830688476562 × 32768)
    floor (6908.5)     		tx = 6908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0702362060546875 × 215)
    floor (0.0702362060546875 × 32768)
    floor (2301.5)     		ty = 2301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6908 / 2301 ti = "15/6908/2301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6908/2301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6908 ÷ 215
    6908 ÷ 32768     		x = 0.2108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2301 ÷ 215
    2301 ÷ 32768     		y = 0.070220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81700024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070220947265625 × 2 - 1) × π
    0.85955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.700381429397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81700024} λ = -1.81700024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.700381429397))-π/2
    2×atan(14.8854083745239)-π/2
    2×1.50371723453506-π/2
    3.00743446907012-1.57079632675     		φ = 1.43663814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81700024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.106445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43663814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.313302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6908 KachelY 2301 -1.81700024 1.43663814 -104.106445 82.313302
    Oben rechts KachelX + 1 6909 KachelY 2301 -1.81680850 1.43663814 -104.095459 82.313302
    Unten links KachelX 6908 KachelY + 1 2302 -1.81700024 1.43661249 -104.106445 82.311832
    Unten rechts KachelX + 1 6909 KachelY + 1 2302 -1.81680850 1.43661249 -104.095459 82.311832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43663814-1.43661249) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43663814-1.43661249) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81700024--1.81680850) × cos(1.43663814) × R
    0.000191739999999996 × 0.133756109591633 × 6371000     		do = 163.393191802694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81700024--1.81680850) × cos(1.43661249) × R
    0.000191739999999996 × 0.133781529063911 × 6371000     		du = 163.424243608269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43663814)-sin(1.43661249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133756109591633-0.133781529063911)×R²
    abs(-1.81680850--1.81700024)×2.54194722784096e-05×R²
    0.000191739999999996×2.54194722784096e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.54194722784096e-05×40589641000000     		ar = 26703.6235253709m²