Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6908 / 2300
↖ ↑ ↗
← N 82.314772°
W104.106445°		 ← 163.36 m → N 82.314772°
W104.095459°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 82.313302°
W104.106445°		 ← 163.39 m →
26 699 m²		 N 82.313302°
W104.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210830688476562 y=0.0702056884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210830688476562 × 215)
    floor (0.210830688476562 × 32768)
    floor (6908.5)     		tx = 6908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0702056884765625 × 215)
    floor (0.0702056884765625 × 32768)
    floor (2300.5)     		ty = 2300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6908 / 2300 ti = "15/6908/2300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6908/2300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6908 ÷ 215
    6908 ÷ 32768     		x = 0.2108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2300 ÷ 215
    2300 ÷ 32768     		y = 0.0701904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81700024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0701904296875 × 2 - 1) × π
    0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81700024} λ = -1.81700024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70057317699548))-π/2
    2×atan(14.8882628894966)-π/2
    2×1.50373005702291-π/2
    3.00746011404581-1.57079632675     		φ = 1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81700024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.106445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6908 KachelY 2300 -1.81700024 1.43666379 -104.106445 82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 6909 KachelY 2300 -1.81680850 1.43666379 -104.095459 82.314772
    Unten links KachelX 6908 KachelY + 1 2301 -1.81700024 1.43663814 -104.106445 82.313302
    Unten rechts KachelX + 1 6909 KachelY + 1 2301 -1.81680850 1.43663814 -104.095459 82.313302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43666379-1.43663814) × R
    2.56500000002102e-05 × 6371000     		dl = 163.416150001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43666379-1.43663814) × R
    2.56500000002102e-05 × 6371000     		dr = 163.416150001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81700024--1.81680850) × cos(1.43666379) × R
    0.000191739999999996 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 163.362139889619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81700024--1.81680850) × cos(1.43663814) × R
    0.000191739999999996 × 0.133756109591633 × 6371000     		du = 163.393191802694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43666379)-sin(1.43663814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133756109591633)×R²
    abs(-1.81680850--1.81700024)×2.54195602797658e-05×R²
    0.000191739999999996×2.54195602797658e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.54195602797658e-05×40589641000000     		ar = 26698.5491503491m²