Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69078 / 73024
↖ ↑ ↗
← S 20.138470°
E  9.728394°		 ← 286.75 m → S 20.138470°
E  9.731140°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
S 20.141049°
E  9.728394°		 ← 286.75 m →
82 228 m²		 S 20.141049°
E  9.731140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527027130126953 y=0.557132720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527027130126953 × 217)
    floor (0.527027130126953 × 131072)
    floor (69078.5)     		tx = 69078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557132720947266 × 217)
    floor (0.557132720947266 × 131072)
    floor (73024.5)     		ty = 73024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69078 / 73024 ti = "17/69078/73024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69078/73024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69078 ÷ 217
    69078 ÷ 131072     		x = 0.527023315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73024 ÷ 217
    73024 ÷ 131072     		y = 0.55712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527023315429688 × 2 - 1) × π
    0.054046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16979250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16979250} λ = 0.16979250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35895150435498))-π/2
    2×atan(0.698408220287449)-π/2
    2×0.609656856768563-π/2
    1.21931371353713-1.57079632675     		φ = -0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16979250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.728394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69078 KachelY 73024 0.16979250 -0.35148261 9.728394 -20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 69079 KachelY 73024 0.16984044 -0.35148261 9.731140 -20.138470
    Unten links KachelX 69078 KachelY + 1 73025 0.16979250 -0.35152762 9.728394 -20.141049
    Unten rechts KachelX + 1 69079 KachelY + 1 73025 0.16984044 -0.35152762 9.731140 -20.141049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35148261--0.35152762) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35148261--0.35152762) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16979250-0.16984044) × cos(-0.35148261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 286.753017209217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16979250-0.16984044) × cos(-0.35152762) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938847799431879 × 6371000     		du = 286.748283888831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35148261)-sin(-0.35152762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.938847799431879)×R²
    abs(0.16984044-0.16979250)×1.54974508235206e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54974508235206e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54974508235206e-05×40589641000000     		ar = 82228.246656997m²