Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69077 / 73033
↖ ↑ ↗
← S 20.161677°
E  9.725647°		 ← 286.71 m → S 20.161677°
E  9.728394°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
S 20.164255°
E  9.725647°		 ← 286.71 m →
82 198 m²		 S 20.164255°
E  9.728394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527019500732422 y=0.557201385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527019500732422 × 217)
    floor (0.527019500732422 × 131072)
    floor (69077.5)     		tx = 69077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557201385498047 × 217)
    floor (0.557201385498047 × 131072)
    floor (73033.5)     		ty = 73033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69077 / 73033 ti = "17/69077/73033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69077/73033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69077 ÷ 217
    69077 ÷ 131072     		x = 0.527015686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73033 ÷ 217
    73033 ÷ 131072     		y = 0.557197570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527015686035156 × 2 - 1) × π
    0.0540313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16974456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557197570800781 × 2 - 1) × π
    -0.114395141601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.359382936451561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16974456} λ = 0.16974456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359382936451561))-π/2
    2×atan(0.698106969553992)-π/2
    2×0.609454343934834-π/2
    1.21890868786967-1.57079632675     		φ = -0.35188764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16974456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.725647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35188764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.161677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69077 KachelY 73033 0.16974456 -0.35188764 9.725647 -20.161677
    Oben rechts KachelX + 1 69078 KachelY 73033 0.16979250 -0.35188764 9.728394 -20.161677
    Unten links KachelX 69077 KachelY + 1 73034 0.16974456 -0.35193264 9.725647 -20.164255
    Unten rechts KachelX + 1 69078 KachelY + 1 73034 0.16979250 -0.35193264 9.728394 -20.164255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35188764--0.35193264) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dl = 286.69500000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35188764--0.35193264) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dr = 286.69500000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16974456-0.16979250) × cos(-0.35188764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.938723772035728 × 6371000     		do = 286.710402729747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16974456-0.16979250) × cos(-0.35193264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.93870826091759 × 6371000     		du = 286.705665235012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35188764)-sin(-0.35193264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938723772035728-0.93870826091759)×R²
    abs(0.16979250-0.16974456)×1.55111181378009e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55111181378009e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55111181378009e-05×40589641000000     		ar = 82197.7598164068m²