Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69076 / 73091
↖ ↑ ↗
← S 20.311145°
E  9.722900°		 ← 286.43 m → S 20.311145°
E  9.725647°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
S 20.313721°
E  9.722900°		 ← 286.43 m →
82 028 m²		 S 20.313721°
E  9.725647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527011871337891 y=0.557643890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527011871337891 × 217)
    floor (0.527011871337891 × 131072)
    floor (69076.5)     		tx = 69076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557643890380859 × 217)
    floor (0.557643890380859 × 131072)
    floor (73091.5)     		ty = 73091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69076 / 73091 ti = "17/69076/73091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69076/73091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69076 ÷ 217
    69076 ÷ 131072     		x = 0.527008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73091 ÷ 217
    73091 ÷ 131072     		y = 0.557640075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527008056640625 × 2 - 1) × π
    0.05401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16969662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557640075683594 × 2 - 1) × π
    -0.115280151367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.362163276629524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16969662} λ = 0.16969662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362163276629524))-π/2
    2×atan(0.696168690484233)-π/2
    2×0.608149984789253-π/2
    1.21629996957851-1.57079632675     		φ = -0.35449636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16969662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.722900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35449636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.311145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69076 KachelY 73091 0.16969662 -0.35449636 9.722900 -20.311145
    Oben rechts KachelX + 1 69077 KachelY 73091 0.16974456 -0.35449636 9.725647 -20.311145
    Unten links KachelX 69076 KachelY + 1 73092 0.16969662 -0.35454131 9.722900 -20.313721
    Unten rechts KachelX + 1 69077 KachelY + 1 73092 0.16974456 -0.35454131 9.725647 -20.313721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35449636--0.35454131) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35449636--0.35454131) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16969662-0.16974456) × cos(-0.35449636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937821430304959 × 6371000     		do = 286.434804338728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16969662-0.16974456) × cos(-0.35454131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937805826399613 × 6371000     		du = 286.430038504391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35449636)-sin(-0.35454131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937821430304959-0.937805826399613)×R²
    abs(0.16974456-0.16969662)×1.560390534594e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.560390534594e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.560390534594e-05×40589641000000     		ar = 82027.5000254558m²