Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69074 / 73088
↖ ↑ ↗
← S 20.303418°
E  9.717407°		 ← 286.45 m → S 20.303418°
E  9.720154°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
S 20.305993°
E  9.717407°		 ← 286.44 m →
82 032 m²		 S 20.305993°
E  9.720154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526996612548828 y=0.557621002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526996612548828 × 217)
    floor (0.526996612548828 × 131072)
    floor (69074.5)     		tx = 69074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557621002197266 × 217)
    floor (0.557621002197266 × 131072)
    floor (73088.5)     		ty = 73088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69074 / 73088 ti = "17/69074/73088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69074/73088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69074 ÷ 217
    69074 ÷ 131072     		x = 0.526992797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73088 ÷ 217
    73088 ÷ 131072     		y = 0.5576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526992797851562 × 2 - 1) × π
    0.053985595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16960075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16960075} λ = 0.16960075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362019465930664))-π/2
    2×atan(0.696268814189394)-π/2
    2×0.608217420849933-π/2
    1.21643484169987-1.57079632675     		φ = -0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16960075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.717407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69074 KachelY 73088 0.16960075 -0.35436149 9.717407 -20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 69075 KachelY 73088 0.16964869 -0.35436149 9.720154 -20.303418
    Unten links KachelX 69074 KachelY + 1 73089 0.16960075 -0.35440644 9.717407 -20.305993
    Unten rechts KachelX + 1 69075 KachelY + 1 73089 0.16964869 -0.35440644 9.720154 -20.305993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35436149--0.35440644) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35436149--0.35440644) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16960075-0.16964869) × cos(-0.35436149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 286.449100488852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16960075-0.16964869) × cos(-0.35440644) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937852639371683 × 6371000     		du = 286.444336391027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35436149)-sin(-0.35440644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.937852639371683)×R²
    abs(0.16964869-0.16960075)×1.55982197966864e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55982197966864e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55982197966864e-05×40589641000000     		ar = 82031.5943548534m²