Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69073 / 72367
↖ ↑ ↗
← S 18.435319°
E  9.714660°		 ← 289.75 m → S 18.435319°
E  9.717407°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
S 18.437925°
E  9.714660°		 ← 289.75 m →
83 937 m²		 S 18.437925°
E  9.717407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526988983154297 y=0.552120208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526988983154297 × 217)
    floor (0.526988983154297 × 131072)
    floor (69073.5)     		tx = 69073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552120208740234 × 217)
    floor (0.552120208740234 × 131072)
    floor (72367.5)     		ty = 72367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69073 / 72367 ti = "17/69073/72367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69073/72367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69073 ÷ 217
    69073 ÷ 131072     		x = 0.526985168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72367 ÷ 217
    72367 ÷ 131072     		y = 0.552116394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526985168457031 × 2 - 1) × π
    0.0539703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16955281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552116394042969 × 2 - 1) × π
    -0.104232788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.327456961304604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16955281} λ = 0.16955281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327456961304604))-π/2
    2×atan(0.720754310933257)-π/2
    2×0.62451965542969-π/2
    1.24903931085938-1.57079632675     		φ = -0.32175702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16955281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.714660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32175702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.435319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69073 KachelY 72367 0.16955281 -0.32175702 9.714660 -18.435319
    Oben rechts KachelX + 1 69074 KachelY 72367 0.16960075 -0.32175702 9.717407 -18.435319
    Unten links KachelX 69073 KachelY + 1 72368 0.16955281 -0.32180249 9.714660 -18.437925
    Unten rechts KachelX + 1 69074 KachelY + 1 72368 0.16960075 -0.32180249 9.717407 -18.437925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32175702--0.32180249) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dl = 289.689369999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32175702--0.32180249) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dr = 289.689369999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16955281-0.16960075) × cos(-0.32175702) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948681253427379 × 6371000     		do = 289.751673852162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16955281-0.16960075) × cos(-0.32180249) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94866687329125 × 6371000     		du = 289.747281788444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32175702)-sin(-0.32180249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948681253427379-0.94866687329125)×R²
    abs(0.16960075-0.16955281)×1.43801361289775e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43801361289775e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43801361289775e-05×40589641000000     		ar = 83937.3437019714m²