Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69073 / 72365
↖ ↑ ↗
← S 18.430108°
E  9.714660°		 ← 289.76 m → S 18.430108°
E  9.717407°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
S 18.432713°
E  9.714660°		 ← 289.76 m →
83 958 m²		 S 18.432713°
E  9.717407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526988983154297 y=0.552104949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526988983154297 × 217)
    floor (0.526988983154297 × 131072)
    floor (69073.5)     		tx = 69073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552104949951172 × 217)
    floor (0.552104949951172 × 131072)
    floor (72365.5)     		ty = 72365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69073 / 72365 ti = "17/69073/72365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69073/72365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69073 ÷ 217
    69073 ÷ 131072     		x = 0.526985168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72365 ÷ 217
    72365 ÷ 131072     		y = 0.552101135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526985168457031 × 2 - 1) × π
    0.0539703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16955281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552101135253906 × 2 - 1) × π
    -0.104202270507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.327361087505363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16955281} λ = 0.16955281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327361087505363))-π/2
    2×atan(0.72082341569998)-π/2
    2×0.624565132957109-π/2
    1.24913026591422-1.57079632675     		φ = -0.32166606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16955281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.714660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32166606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.430108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69073 KachelY 72365 0.16955281 -0.32166606 9.714660 -18.430108
    Oben rechts KachelX + 1 69074 KachelY 72365 0.16960075 -0.32166606 9.717407 -18.430108
    Unten links KachelX 69073 KachelY + 1 72366 0.16955281 -0.32171154 9.714660 -18.432713
    Unten rechts KachelX + 1 69074 KachelY + 1 72366 0.16960075 -0.32171154 9.717407 -18.432713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32166606--0.32171154) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dl = 289.753080000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32166606--0.32171154) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dr = 289.753080000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16955281-0.16960075) × cos(-0.32166606) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948710014138304 × 6371000     		do = 289.76045811358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16955281-0.16960075) × cos(-0.32171154) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948695634763997 × 6371000     		du = 289.756066282541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32166606)-sin(-0.32171154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948710014138304-0.948695634763997)×R²
    abs(0.16960075-0.16955281)×1.43793743074827e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43793743074827e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43793743074827e-05×40589641000000     		ar = 83958.3489418672m²