Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69072 / 72369
↖ ↑ ↗
← S 18.440530°
E  9.711914°		 ← 289.68 m → S 18.440530°
E  9.714660°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
S 18.443136°
E  9.711914°		 ← 289.68 m →
83 917 m²		 S 18.443136°
E  9.714660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526981353759766 y=0.552135467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526981353759766 × 217)
    floor (0.526981353759766 × 131072)
    floor (69072.5)     		tx = 69072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552135467529297 × 217)
    floor (0.552135467529297 × 131072)
    floor (72369.5)     		ty = 72369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69072 / 72369 ti = "17/69072/72369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69072/72369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69072 ÷ 217
    69072 ÷ 131072     		x = 0.5269775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72369 ÷ 217
    72369 ÷ 131072     		y = 0.552131652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5269775390625 × 2 - 1) × π
    0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552131652832031 × 2 - 1) × π
    -0.104263305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.327552835103844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16950488} λ = 0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327552835103844))-π/2
    2×atan(0.720685212791553)-π/2
    2×0.624474179281063-π/2
    1.24894835856213-1.57079632675     		φ = -0.32184797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32184797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.440530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69072 KachelY 72369 0.16950488 -0.32184797 9.711914 -18.440530
    Oben rechts KachelX + 1 69073 KachelY 72369 0.16955281 -0.32184797 9.714660 -18.440530
    Unten links KachelX 69072 KachelY + 1 72370 0.16950488 -0.32189344 9.711914 -18.443136
    Unten rechts KachelX + 1 69073 KachelY + 1 72370 0.16955281 -0.32189344 9.714660 -18.443136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32184797--0.32189344) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dl = 289.689369999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32184797--0.32189344) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dr = 289.689369999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16950488-0.16955281) × cos(-0.32184797) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.94865248803053 × 6371000     		do = 289.682449509563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16950488-0.16955281) × cos(-0.32189344) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948638103971222 × 6371000     		du = 289.678057164013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32184797)-sin(-0.32189344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94865248803053-0.948638103971222)×R²
    abs(0.16955281-0.16950488)×1.43840593078703e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43840593078703e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43840593078703e-05×40589641000000     		ar = 83917.2901050781m²