Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6907 / 2096
↖ ↑ ↗
← N 78.971386°
W 28.234863°		 ← 467.40 m → N 78.971386°
W 28.212890°		 →
↑
467.50 m
↓
↑
467.50 m
↓
N 78.967182°
W 28.234863°		 ← 467.57 m →
218 551 m²		 N 78.967182°
W 28.212890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421600341796875 y=0.127960205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421600341796875 × 214)
    floor (0.421600341796875 × 16384)
    floor (6907.5)     		tx = 6907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127960205078125 × 214)
    floor (0.127960205078125 × 16384)
    floor (2096.5)     		ty = 2096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6907 / 2096 ti = "14/6907/2096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6907/2096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6907 ÷ 214
    6907 ÷ 16384     		x = 0.42156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2096 ÷ 214
    2096 ÷ 16384     		y = 0.1279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.1568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49279133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1279296875 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3377867206709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49279133} λ = -0.49279133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3377867206709))-π/2
    2×atan(10.3582853944792)-π/2
    2×1.47455351304601-π/2
    2.94910702609201-1.57079632675     		φ = 1.37831070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49279133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.234863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37831070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.971386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6907 KachelY 2096 -0.49279133 1.37831070 -28.234863 78.971386
    Oben rechts KachelX + 1 6908 KachelY 2096 -0.49240783 1.37831070 -28.212890 78.971386
    Unten links KachelX 6907 KachelY + 1 2097 -0.49279133 1.37823732 -28.234863 78.967182
    Unten rechts KachelX + 1 6908 KachelY + 1 2097 -0.49240783 1.37823732 -28.212890 78.967182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37831070-1.37823732) × R
    7.33800000001228e-05 × 6371000     		dl = 467.503980000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37831070-1.37823732) × R
    7.33800000001228e-05 × 6371000     		dr = 467.503980000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49279133--0.49240783) × cos(1.37831070) × R
    0.000383500000000037 × 0.191299205085577 × 6371000     		do = 467.397234852727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49279133--0.49240783) × cos(1.37823732) × R
    0.000383500000000037 × 0.191371229371707 × 6371000     		du = 467.573210242504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37831070)-sin(1.37823732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191299205085577-0.191371229371707)×R²
    abs(-0.49240783--0.49279133)×7.20242861290965e-05×R²
    0.000383500000000037×7.20242861290965e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.20242861290965e-05×40589641000000     		ar = 218551.202230875m²