Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6907 / 2089
↖ ↑ ↗
← N 79.000771°
W 28.234863°		 ← 466.17 m → N 79.000771°
W 28.212890°		 →
↑
466.23 m
↓
↑
466.23 m
↓
N 78.996578°
W 28.234863°		 ← 466.34 m →
217 382 m²		 N 78.996578°
W 28.212890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421600341796875 y=0.127532958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421600341796875 × 214)
    floor (0.421600341796875 × 16384)
    floor (6907.5)     		tx = 6907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127532958984375 × 214)
    floor (0.127532958984375 × 16384)
    floor (2089.5)     		ty = 2089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6907 / 2089 ti = "14/6907/2089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6907/2089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6907 ÷ 214
    6907 ÷ 16384     		x = 0.42156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2089 ÷ 214
    2089 ÷ 16384     		y = 0.12750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.1568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49279133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    0.7449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34047118704962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49279133} λ = -0.49279133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34047118704962))-π/2
    2×atan(10.386129219547)-π/2
    2×1.47480994319698-π/2
    2.94961988639396-1.57079632675     		φ = 1.37882356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49279133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.234863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37882356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.000771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6907 KachelY 2089 -0.49279133 1.37882356 -28.234863 79.000771
    Oben rechts KachelX + 1 6908 KachelY 2089 -0.49240783 1.37882356 -28.212890 79.000771
    Unten links KachelX 6907 KachelY + 1 2090 -0.49279133 1.37875038 -28.234863 78.996578
    Unten rechts KachelX + 1 6908 KachelY + 1 2090 -0.49240783 1.37875038 -28.212890 78.996578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37882356-1.37875038) × R
    7.3180000000006e-05 × 6371000     		dl = 466.229780000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37882356-1.37875038) × R
    7.3180000000006e-05 × 6371000     		dr = 466.229780000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49279133--0.49240783) × cos(1.37882356) × R
    0.000383500000000037 × 0.190795791566172 × 6371000     		do = 466.167255424154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49279133--0.49240783) × cos(1.37875038) × R
    0.000383500000000037 × 0.190867626720321 × 6371000     		du = 466.342768711831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37882356)-sin(1.37875038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190795791566172-0.190867626720321)×R²
    abs(-0.49240783--0.49279133)×7.18351541492135e-05×R²
    0.000383500000000037×7.18351541492135e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.18351541492135e-05×40589641000000     		ar = 217381.971796176m²