Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69067 / 73087
↖ ↑ ↗
← S 20.300842°
E  9.698181°		 ← 286.45 m → S 20.300842°
E  9.700928°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
S 20.303418°
E  9.698181°		 ← 286.45 m →
82 051 m²		 S 20.303418°
E  9.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526943206787109 y=0.557613372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526943206787109 × 217)
    floor (0.526943206787109 × 131072)
    floor (69067.5)     		tx = 69067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557613372802734 × 217)
    floor (0.557613372802734 × 131072)
    floor (73087.5)     		ty = 73087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69067 / 73087 ti = "17/69067/73087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69067/73087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69067 ÷ 217
    69067 ÷ 131072     		x = 0.526939392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73087 ÷ 217
    73087 ÷ 131072     		y = 0.557609558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526939392089844 × 2 - 1) × π
    0.0538787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16926519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557609558105469 × 2 - 1) × π
    -0.115219116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.361971529031044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16926519} λ = 0.16926519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361971529031044))-π/2
    2×atan(0.696302191957655)-π/2
    2×0.608239900284705-π/2
    1.21647980056941-1.57079632675     		φ = -0.35431653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16926519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.698181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35431653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.300842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69067 KachelY 73087 0.16926519 -0.35431653 9.698181 -20.300842
    Oben rechts KachelX + 1 69068 KachelY 73087 0.16931313 -0.35431653 9.700928 -20.300842
    Unten links KachelX 69067 KachelY + 1 73088 0.16926519 -0.35436149 9.698181 -20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 69068 KachelY + 1 73088 0.16931313 -0.35436149 9.700928 -20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35431653--0.35436149) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35431653--0.35436149) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16926519-0.16931313) × cos(-0.35431653) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937883837385806 × 6371000     		do = 286.453865067577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16926519-0.16931313) × cos(-0.35436149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 286.449100488852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35431653)-sin(-0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937883837385806-0.93786823759148)×R²
    abs(0.16931313-0.16926519)×1.55997943259711e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55997943259711e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55997943259711e-05×40589641000000     		ar = 82051.2085729504m²