Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69066 / 70122
↖ ↑ ↗
← S 12.495577°
E  9.695435°		 ← 298.13 m → S 12.495577°
E  9.698181°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
S 12.498258°
E  9.695435°		 ← 298.13 m →
88 890 m²		 S 12.498258°
E  9.698181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526935577392578 y=0.534992218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526935577392578 × 217)
    floor (0.526935577392578 × 131072)
    floor (69066.5)     		tx = 69066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534992218017578 × 217)
    floor (0.534992218017578 × 131072)
    floor (70122.5)     		ty = 70122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69066 / 70122 ti = "17/69066/70122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69066/70122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69066 ÷ 217
    69066 ÷ 131072     		x = 0.526931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70122 ÷ 217
    70122 ÷ 131072     		y = 0.534988403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526931762695312 × 2 - 1) × π
    0.053863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16921726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534988403320312 × 2 - 1) × π
    -0.069976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.219838621657578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16921726} λ = 0.16921726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219838621657578))-π/2
    2×atan(0.802648317566405)-π/2
    2×0.676353685166232-π/2
    1.35270737033246-1.57079632675     		φ = -0.21808896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16921726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.695435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21808896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.495577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69066 KachelY 70122 0.16921726 -0.21808896 9.695435 -12.495577
    Oben rechts KachelX + 1 69067 KachelY 70122 0.16926519 -0.21808896 9.698181 -12.495577
    Unten links KachelX 69066 KachelY + 1 70123 0.16921726 -0.21813576 9.695435 -12.498258
    Unten rechts KachelX + 1 69067 KachelY + 1 70123 0.16926519 -0.21813576 9.698181 -12.498258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21808896--0.21813576) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dl = 298.162800000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21808896--0.21813576) × R
    4.68000000000135e-05 × 6371000     		dr = 298.162800000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16921726-0.16926519) × cos(-0.21808896) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.976312712591401 × 6371000     		do = 298.128831831727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16921726-0.16926519) × cos(-0.21813576) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.976302585675481 × 6371000     		du = 298.125739456124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21808896)-sin(-0.21813576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976312712591401-0.976302585675481)×R²
    abs(0.16926519-0.16921726)×1.01269159196171e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.01269159196171e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.01269159196171e-05×40589641000000     		ar = 88890.4662602068m²