Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69064 / 64776
↖ ↑ ↗
← N  2.086941°
E  9.689941°		 ← 305.22 m → N  2.086941°
E  9.692688°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  2.084196°
E  9.689941°		 ← 305.22 m →
93 165 m²		 N  2.084196°
E  9.692688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526920318603516 y=0.494205474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526920318603516 × 217)
    floor (0.526920318603516 × 131072)
    floor (69064.5)     		tx = 69064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494205474853516 × 217)
    floor (0.494205474853516 × 131072)
    floor (64776.5)     		ty = 64776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69064 / 64776 ti = "17/69064/64776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69064/64776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69064 ÷ 217
    69064 ÷ 131072     		x = 0.52691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64776 ÷ 217
    64776 ÷ 131072     		y = 0.49420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52691650390625 × 2 - 1) × π
    0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    0.0115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16912138} λ = 0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0364320437112427))-π/2
    2×atan(1.03710382389607)-π/2
    2×0.803610156920854-π/2
    1.60722031384171-1.57079632675     		φ = 0.03642399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03642399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.086941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69064 KachelY 64776 0.16912138 0.03642399 9.689941 2.086941
    Oben rechts KachelX + 1 69065 KachelY 64776 0.16916932 0.03642399 9.692688 2.086941
    Unten links KachelX 69064 KachelY + 1 64777 0.16912138 0.03637608 9.689941 2.084196
    Unten rechts KachelX + 1 69065 KachelY + 1 64777 0.16916932 0.03637608 9.692688 2.084196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03642399-0.03637608) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03642399-0.03637608) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16912138-0.16916932) × cos(0.03642399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999336719812646 × 6371000     		do = 305.223157158103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16912138-0.16916932) × cos(0.03637608) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999338463353242 × 6371000     		du = 305.22368968028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03642399)-sin(0.03637608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999336719812646-0.999338463353242)×R²
    abs(0.16916932-0.16912138)×1.74354059612192e-06×R²
    4.79400000000241e-05×1.74354059612192e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.74354059612192e-06×40589641000000     		ar = 93164.7526280536m²