Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69061 / 73029
↖ ↑ ↗
← S 20.151363°
E  9.681702°		 ← 286.73 m → S 20.151363°
E  9.684448°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
S 20.153942°
E  9.681702°		 ← 286.72 m →
82 221 m²		 S 20.153942°
E  9.684448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526897430419922 y=0.557170867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526897430419922 × 217)
    floor (0.526897430419922 × 131072)
    floor (69061.5)     		tx = 69061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557170867919922 × 217)
    floor (0.557170867919922 × 131072)
    floor (73029.5)     		ty = 73029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69061 / 73029 ti = "17/69061/73029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69061/73029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69061 ÷ 217
    69061 ÷ 131072     		x = 0.526893615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73029 ÷ 217
    73029 ÷ 131072     		y = 0.557167053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526893615722656 × 2 - 1) × π
    0.0537872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16897757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557167053222656 × 2 - 1) × π
    -0.114334106445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.359191188853081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16897757} λ = 0.16897757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359191188853081))-π/2
    2×atan(0.698240842723405)-π/2
    2×0.609544345922916-π/2
    1.21908869184583-1.57079632675     		φ = -0.35170763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16897757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.681702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35170763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.151363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69061 KachelY 73029 0.16897757 -0.35170763 9.681702 -20.151363
    Oben rechts KachelX + 1 69062 KachelY 73029 0.16902551 -0.35170763 9.684448 -20.151363
    Unten links KachelX 69061 KachelY + 1 73030 0.16897757 -0.35175264 9.681702 -20.153942
    Unten rechts KachelX + 1 69062 KachelY + 1 73030 0.16902551 -0.35175264 9.684448 -20.153942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35170763--0.35175264) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35170763--0.35175264) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16897757-0.16902551) × cos(-0.35170763) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938785800943823 × 6371000     		do = 286.729347954738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16897757-0.16902551) × cos(-0.35175264) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938770293984522 × 6371000     		du = 286.724611730218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35170763)-sin(-0.35175264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938785800943823-0.938770293984522)×R²
    abs(0.16902551-0.16897757)×1.55069593009705e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55069593009705e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55069593009705e-05×40589641000000     		ar = 82221.4588757188m²