Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69060 / 73031
↖ ↑ ↗
← S 20.156520°
E  9.678955°		 ← 286.72 m → S 20.156520°
E  9.681702°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
S 20.159098°
E  9.678955°		 ← 286.72 m →
82 200 m²		 S 20.159098°
E  9.681702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526889801025391 y=0.557186126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526889801025391 × 217)
    floor (0.526889801025391 × 131072)
    floor (69060.5)     		tx = 69060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557186126708984 × 217)
    floor (0.557186126708984 × 131072)
    floor (73031.5)     		ty = 73031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69060 / 73031 ti = "17/69060/73031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69060/73031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69060 ÷ 217
    69060 ÷ 131072     		x = 0.526885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73031 ÷ 217
    73031 ÷ 131072     		y = 0.557182312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526885986328125 × 2 - 1) × π
    0.05377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16892963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557182312011719 × 2 - 1) × π
    -0.114364624023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.359287062652321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16892963} λ = 0.16892963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359287062652321))-π/2
    2×atan(0.698173902929966)-π/2
    2×0.609499344185531-π/2
    1.21899868837106-1.57079632675     		φ = -0.35179764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16892963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35179764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.156520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69060 KachelY 73031 0.16892963 -0.35179764 9.678955 -20.156520
    Oben rechts KachelX + 1 69061 KachelY 73031 0.16897757 -0.35179764 9.681702 -20.156520
    Unten links KachelX 69060 KachelY + 1 73032 0.16892963 -0.35184264 9.678955 -20.159098
    Unten rechts KachelX + 1 69061 KachelY + 1 73032 0.16897757 -0.35184264 9.681702 -20.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35179764--0.35184264) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35179764--0.35184264) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16892963-0.16897757) × cos(-0.35179764) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938754788569225 × 6371000     		do = 286.719875977277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16892963-0.16897757) × cos(-0.35184264) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.93873928125295 × 6371000     		du = 286.715139643728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35179764)-sin(-0.35184264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938754788569225-0.93873928125295)×R²
    abs(0.16897757-0.16892963)×1.55073162751984e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55073162751984e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55073162751984e-05×40589641000000     		ar = 82200.4759155873m²