Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69060 / 44225
↖ ↑ ↗
← N 50.399764°
E  9.678955°		 ← 194.69 m → N 50.399764°
E  9.681702°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.398014°
E  9.678955°		 ← 194.69 m →
37 893 m²		 N 50.398014°
E  9.681702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526889801025391 y=0.337413787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526889801025391 × 217)
    floor (0.526889801025391 × 131072)
    floor (69060.5)     		tx = 69060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337413787841797 × 217)
    floor (0.337413787841797 × 131072)
    floor (44225.5)     		ty = 44225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69060 / 44225 ti = "17/69060/44225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69060/44225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69060 ÷ 217
    69060 ÷ 131072     		x = 0.526885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44225 ÷ 217
    44225 ÷ 131072     		y = 0.337409973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526885986328125 × 2 - 1) × π
    0.05377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16892963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337409973144531 × 2 - 1) × π
    0.325180053710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.02158326780302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16892963} λ = 0.16892963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02158326780302))-π/2
    2×atan(2.77758895161557)-π/2
    2×1.22521908071798-π/2
    2.45043816143596-1.57079632675     		φ = 0.87964183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16892963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87964183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.399764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69060 KachelY 44225 0.16892963 0.87964183 9.678955 50.399764
    Oben rechts KachelX + 1 69061 KachelY 44225 0.16897757 0.87964183 9.681702 50.399764
    Unten links KachelX 69060 KachelY + 1 44226 0.16892963 0.87961128 9.678955 50.398014
    Unten rechts KachelX + 1 69061 KachelY + 1 44226 0.16897757 0.87961128 9.681702 50.398014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87964183-0.87961128) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87964183-0.87961128) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16892963-0.16897757) × cos(0.87964183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.637427158868228 × 6371000     		do = 194.686661693411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16892963-0.16897757) × cos(0.87961128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.637450697670241 × 6371000     		du = 194.693851049435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87964183)-sin(0.87961128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637427158868228-0.637450697670241)×R²
    abs(0.16897757-0.16892963)×2.35388020128902e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35388020128902e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35388020128902e-05×40589641000000     		ar = 37893.3530958534m²