Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69058 / 72516
↖ ↑ ↗
← S 18.823117°
E  9.673462°		 ← 289.09 m → S 18.823117°
E  9.676209°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
S 18.825717°
E  9.673462°		 ← 289.09 m →
83 562 m²		 S 18.825717°
E  9.676209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526874542236328 y=0.553256988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526874542236328 × 217)
    floor (0.526874542236328 × 131072)
    floor (69058.5)     		tx = 69058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553256988525391 × 217)
    floor (0.553256988525391 × 131072)
    floor (72516.5)     		ty = 72516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69058 / 72516 ti = "17/69058/72516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69058/72516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69058 ÷ 217
    69058 ÷ 131072     		x = 0.526870727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72516 ÷ 217
    72516 ÷ 131072     		y = 0.553253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526870727539062 × 2 - 1) × π
    0.053741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16883376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.10650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.334599559347992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16883376} λ = 0.16883376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334599559347992))-π/2
    2×atan(0.715624594163124)-π/2
    2×0.621135480285912-π/2
    1.24227096057182-1.57079632675     		φ = -0.32852537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16883376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.673462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32852537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.823117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69058 KachelY 72516 0.16883376 -0.32852537 9.673462 -18.823117
    Oben rechts KachelX + 1 69059 KachelY 72516 0.16888170 -0.32852537 9.676209 -18.823117
    Unten links KachelX 69058 KachelY + 1 72517 0.16883376 -0.32857074 9.673462 -18.825717
    Unten rechts KachelX + 1 69059 KachelY + 1 72517 0.16888170 -0.32857074 9.676209 -18.825717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32852537--0.32857074) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32852537--0.32857074) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16883376-0.16888170) × cos(-0.32852537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946519158325905 × 6371000     		do = 289.091314355845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16883376-0.16888170) × cos(-0.32857074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946504518829481 × 6371000     		du = 289.086843076816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32852537)-sin(-0.32857074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946519158325905-0.946504518829481)×R²
    abs(0.16888170-0.16883376)×1.4639496424329e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4639496424329e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4639496424329e-05×40589641000000     		ar = 83561.8544494593m²