Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69057 / 44107
↖ ↑ ↗
← N 50.605903°
E  9.670715°		 ← 193.84 m → N 50.605903°
E  9.673462°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
N 50.604160°
E  9.670715°		 ← 193.85 m →
37 568 m²		 N 50.604160°
E  9.673462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526866912841797 y=0.336513519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526866912841797 × 217)
    floor (0.526866912841797 × 131072)
    floor (69057.5)     		tx = 69057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336513519287109 × 217)
    floor (0.336513519287109 × 131072)
    floor (44107.5)     		ty = 44107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69057 / 44107 ti = "17/69057/44107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69057/44107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69057 ÷ 217
    69057 ÷ 131072     		x = 0.526863098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44107 ÷ 217
    44107 ÷ 131072     		y = 0.336509704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526863098144531 × 2 - 1) × π
    0.0537261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16878582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336509704589844 × 2 - 1) × π
    0.326980590820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.02723982195818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16878582} λ = 0.16878582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02723982195818))-π/2
    2×atan(2.79334505455415)-π/2
    2×1.22701797440806-π/2
    2.45403594881611-1.57079632675     		φ = 0.88323962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16878582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.670715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88323962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.605903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69057 KachelY 44107 0.16878582 0.88323962 9.670715 50.605903
    Oben rechts KachelX + 1 69058 KachelY 44107 0.16883376 0.88323962 9.673462 50.605903
    Unten links KachelX 69057 KachelY + 1 44108 0.16878582 0.88320920 9.670715 50.604160
    Unten rechts KachelX + 1 69058 KachelY + 1 44108 0.16883376 0.88320920 9.673462 50.604160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88323962-0.88320920) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88323962-0.88320920) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16878582-0.16883376) × cos(0.88323962) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634650903987686 × 6371000     		do = 193.838721992093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16878582-0.16883376) × cos(0.88320920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.63467441223835 × 6371000     		du = 193.845902016948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88323962)-sin(0.88320920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634650903987686-0.63467441223835)×R²
    abs(0.16883376-0.16878582)×2.35082506646611e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35082506646611e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35082506646611e-05×40589641000000     		ar = 37567.7682315586m²