Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69052 / 44105
↖ ↑ ↗
← N 50.609389°
E  9.656982°		 ← 193.82 m → N 50.609389°
E  9.659729°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.607645°
E  9.656982°		 ← 193.83 m →
37 577 m²		 N 50.607645°
E  9.659729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526828765869141 y=0.336498260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526828765869141 × 217)
    floor (0.526828765869141 × 131072)
    floor (69052.5)     		tx = 69052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336498260498047 × 217)
    floor (0.336498260498047 × 131072)
    floor (44105.5)     		ty = 44105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69052 / 44105 ti = "17/69052/44105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69052/44105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69052 ÷ 217
    69052 ÷ 131072     		x = 0.526824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44105 ÷ 217
    44105 ÷ 131072     		y = 0.336494445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526824951171875 × 2 - 1) × π
    0.05364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16854614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336494445800781 × 2 - 1) × π
    0.327011108398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.02733569575742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16854614} λ = 0.16854614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02733569575742))-π/2
    2×atan(2.79361287599545)-π/2
    2×1.22704839647762-π/2
    2.45409679295524-1.57079632675     		φ = 0.88330047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16854614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.656982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88330047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.609389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69052 KachelY 44105 0.16854614 0.88330047 9.656982 50.609389
    Oben rechts KachelX + 1 69053 KachelY 44105 0.16859408 0.88330047 9.659729 50.609389
    Unten links KachelX 69052 KachelY + 1 44106 0.16854614 0.88327004 9.656982 50.607645
    Unten rechts KachelX + 1 69053 KachelY + 1 44106 0.16859408 0.88327004 9.659729 50.607645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88330047-0.88327004) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88330047-0.88327004) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16854614-0.16859408) × cos(0.88330047) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634603877996129 × 6371000     		do = 193.824359043823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16854614-0.16859408) × cos(0.88327004) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.63462739514973 × 6371000     		du = 193.831541787864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88330047)-sin(0.88327004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634603877996129-0.63462739514973)×R²
    abs(0.16859408-0.16854614)×2.35171536006051e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35171536006051e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35171536006051e-05×40589641000000     		ar = 37577.3336508391m²