Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69050 / 70042
↖ ↑ ↗
← S 12.280966°
E  9.651490°		 ← 298.37 m → S 12.280966°
E  9.654236°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
S 12.283650°
E  9.651490°		 ← 298.37 m →
89 040 m²		 S 12.283650°
E  9.654236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526813507080078 y=0.534381866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526813507080078 × 217)
    floor (0.526813507080078 × 131072)
    floor (69050.5)     		tx = 69050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534381866455078 × 217)
    floor (0.534381866455078 × 131072)
    floor (70042.5)     		ty = 70042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69050 / 70042 ti = "17/69050/70042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69050/70042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69050 ÷ 217
    69050 ÷ 131072     		x = 0.526809692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70042 ÷ 217
    70042 ÷ 131072     		y = 0.534378051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526809692382812 × 2 - 1) × π
    0.053619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16845027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534378051757812 × 2 - 1) × π
    -0.068756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.216003669687973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16845027} λ = 0.16845027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.216003669687973))-π/2
    2×atan(0.805732345081758)-π/2
    2×0.678226513850233-π/2
    1.35645302770047-1.57079632675     		φ = -0.21434330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16845027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.651490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21434330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.280966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69050 KachelY 70042 0.16845027 -0.21434330 9.651490 -12.280966
    Oben rechts KachelX + 1 69051 KachelY 70042 0.16849820 -0.21434330 9.654236 -12.280966
    Unten links KachelX 69050 KachelY + 1 70043 0.16845027 -0.21439014 9.651490 -12.283650
    Unten rechts KachelX + 1 69051 KachelY + 1 70043 0.16849820 -0.21439014 9.654236 -12.283650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21434330--0.21439014) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dl = 298.417640000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21434330--0.21439014) × R
    4.68400000000202e-05 × 6371000     		dr = 298.417640000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16845027-0.16849820) × cos(-0.21434330) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.977116288790041 × 6371000     		do = 298.37421349083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16845027-0.16849820) × cos(-0.21439014) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.977106324578392 × 6371000     		du = 298.371170798934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21434330)-sin(-0.21439014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977116288790041-0.977106324578392)×R²
    abs(0.16849820-0.16845027)×9.96421164900507e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.96421164900507e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.96421164900507e-06×40589641000000     		ar = 89039.6746466143m²