Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6905 / 1838
↖ ↑ ↗
← N 80.004798°
W 28.278809°		 ← 424.07 m → N 80.004798°
W 28.256836°		 →
↑
424.12 m
↓
↑
424.12 m
↓
N 80.000984°
W 28.278809°		 ← 424.23 m →
179 889 m²		 N 80.000984°
W 28.256836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421478271484375 y=0.112213134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421478271484375 × 214)
    floor (0.421478271484375 × 16384)
    floor (6905.5)     		tx = 6905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112213134765625 × 214)
    floor (0.112213134765625 × 16384)
    floor (1838.5)     		ty = 1838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6905 / 1838 ti = "14/6905/1838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6905/1838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6905 ÷ 214
    6905 ÷ 16384     		x = 0.42144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1838 ÷ 214
    1838 ÷ 16384     		y = 0.1121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49355832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1121826171875 × 2 - 1) × π
    0.775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43672848148669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49355832} λ = -0.49355832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43672848148669))-π/2
    2×atan(11.4355678077235)-π/2
    2×1.48357174059826-π/2
    2.96714348119652-1.57079632675     		φ = 1.39634715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49355832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.278809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39634715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.004798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6905 KachelY 1838 -0.49355832 1.39634715 -28.278809 80.004798
    Oben rechts KachelX + 1 6906 KachelY 1838 -0.49317482 1.39634715 -28.256836 80.004798
    Unten links KachelX 6905 KachelY + 1 1839 -0.49355832 1.39628058 -28.278809 80.000984
    Unten rechts KachelX + 1 6906 KachelY + 1 1839 -0.49317482 1.39628058 -28.256836 80.000984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39634715-1.39628058) × R
    6.6569999999988e-05 × 6371000     		dl = 424.117469999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39634715-1.39628058) × R
    6.6569999999988e-05 × 6371000     		dr = 424.117469999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49355832--0.49317482) × cos(1.39634715) × R
    0.000383499999999981 × 0.173565700979971 × 6371000     		do = 424.06934554177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49355832--0.49317482) × cos(1.39628058) × R
    0.000383499999999981 × 0.173631260215338 × 6371000     		du = 424.229525012019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39634715)-sin(1.39628058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173565700979971-0.173631260215338)×R²
    abs(-0.49317482--0.49355832)×6.55592353672463e-05×R²
    0.000383499999999981×6.55592353672463e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.55592353672463e-05×40589641000000     		ar = 179889.185457119m²