Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69048 / 70041
↖ ↑ ↗
← S 12.278283°
E  9.645996°		 ← 298.44 m → S 12.278283°
E  9.648743°		 →
↑
298.42 m
↓
↑
298.42 m
↓
S 12.280966°
E  9.645996°		 ← 298.44 m →
89 059 m²		 S 12.280966°
E  9.648743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526798248291016 y=0.534374237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526798248291016 × 217)
    floor (0.526798248291016 × 131072)
    floor (69048.5)     		tx = 69048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534374237060547 × 217)
    floor (0.534374237060547 × 131072)
    floor (70041.5)     		ty = 70041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69048 / 70041 ti = "17/69048/70041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69048/70041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69048 ÷ 217
    69048 ÷ 131072     		x = 0.52679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70041 ÷ 217
    70041 ÷ 131072     		y = 0.534370422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52679443359375 × 2 - 1) × π
    0.0535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16835439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534370422363281 × 2 - 1) × π
    -0.0687408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.215955732788353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16835439} λ = 0.16835439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.215955732788353))-π/2
    2×atan(0.805770970318085)-π/2
    2×0.678249933932356-π/2
    1.35649986786471-1.57079632675     		φ = -0.21429646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16835439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21429646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.278283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69048 KachelY 70041 0.16835439 -0.21429646 9.645996 -12.278283
    Oben rechts KachelX + 1 69049 KachelY 70041 0.16840233 -0.21429646 9.648743 -12.278283
    Unten links KachelX 69048 KachelY + 1 70042 0.16835439 -0.21434330 9.645996 -12.280966
    Unten rechts KachelX + 1 69049 KachelY + 1 70042 0.16840233 -0.21434330 9.648743 -12.280966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21429646--0.21434330) × R
    4.68399999999924e-05 × 6371000     		dl = 298.417639999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21429646--0.21434330) × R
    4.68399999999924e-05 × 6371000     		dr = 298.417639999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16835439-0.16840233) × cos(-0.21429646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977126250857911 × 6371000     		do = 298.43950824168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16835439-0.16840233) × cos(-0.21434330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977116288790041 × 6371000     		du = 298.436465569729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21429646)-sin(-0.21434330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977126250857911-0.977116288790041)×R²
    abs(0.16840233-0.16835439)×9.9620678699619e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.9620678699619e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.9620678699619e-06×40589641000000     		ar = 89059.1597550148m²