Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69045 / 73070
↖ ↑ ↗
← S 20.257044°
E  9.637756°		 ← 286.53 m → S 20.257044°
E  9.640503°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
S 20.259620°
E  9.637756°		 ← 286.53 m →
82 093 m²		 S 20.259620°
E  9.640503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526775360107422 y=0.557483673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526775360107422 × 217)
    floor (0.526775360107422 × 131072)
    floor (69045.5)     		tx = 69045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557483673095703 × 217)
    floor (0.557483673095703 × 131072)
    floor (73070.5)     		ty = 73070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69045 / 73070 ti = "17/69045/73070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69045/73070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69045 ÷ 217
    69045 ÷ 131072     		x = 0.526771545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73070 ÷ 217
    73070 ÷ 131072     		y = 0.557479858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526771545410156 × 2 - 1) × π
    0.0535430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16821058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557479858398438 × 2 - 1) × π
    -0.114959716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.361156601737503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16821058} λ = 0.16821058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361156601737503))-π/2
    2×atan(0.696869858890656)-π/2
    2×0.608622107846513-π/2
    1.21724421569303-1.57079632675     		φ = -0.35355211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16821058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.637756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35355211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.257044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69045 KachelY 73070 0.16821058 -0.35355211 9.637756 -20.257044
    Oben rechts KachelX + 1 69046 KachelY 73070 0.16825852 -0.35355211 9.640503 -20.257044
    Unten links KachelX 69045 KachelY + 1 73071 0.16821058 -0.35359708 9.637756 -20.259620
    Unten rechts KachelX + 1 69046 KachelY + 1 73071 0.16825852 -0.35359708 9.640503 -20.259620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35355211--0.35359708) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35355211--0.35359708) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16821058-0.16825852) × cos(-0.35355211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		do = 286.534784880032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16821058-0.16825852) × cos(-0.35359708) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938133207404081 × 6371000     		du = 286.530029089943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35355211)-sin(-0.35359708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938148778423371-0.938133207404081)×R²
    abs(0.16825852-0.16821058)×1.55710192902836e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55710192902836e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55710192902836e-05×40589641000000     		ar = 82092.6434955297m²