Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69045 / 73066
↖ ↑ ↗
← S 20.246737°
E  9.637756°		 ← 286.55 m → S 20.246737°
E  9.640503°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
S 20.249313°
E  9.637756°		 ← 286.55 m →
82 098 m²		 S 20.249313°
E  9.640503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526775360107422 y=0.557453155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526775360107422 × 217)
    floor (0.526775360107422 × 131072)
    floor (69045.5)     		tx = 69045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557453155517578 × 217)
    floor (0.557453155517578 × 131072)
    floor (73066.5)     		ty = 73066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69045 / 73066 ti = "17/69045/73066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69045/73066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69045 ÷ 217
    69045 ÷ 131072     		x = 0.526771545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73066 ÷ 217
    73066 ÷ 131072     		y = 0.557449340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526771545410156 × 2 - 1) × π
    0.0535430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16821058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557449340820312 × 2 - 1) × π
    -0.114898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.360964854139023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16821058} λ = 0.16821058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.360964854139023))-π/2
    2×atan(0.697003494824327)-π/2
    2×0.60871205471935-π/2
    1.2174241094387-1.57079632675     		φ = -0.35337222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16821058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.637756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35337222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.246737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69045 KachelY 73066 0.16821058 -0.35337222 9.637756 -20.246737
    Oben rechts KachelX + 1 69046 KachelY 73066 0.16825852 -0.35337222 9.640503 -20.246737
    Unten links KachelX 69045 KachelY + 1 73067 0.16821058 -0.35341719 9.637756 -20.249313
    Unten rechts KachelX + 1 69046 KachelY + 1 73067 0.16825852 -0.35341719 9.640503 -20.249313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35337222--0.35341719) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35337222--0.35341719) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16821058-0.16825852) × cos(-0.35337222) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938211046988662 × 6371000     		do = 286.553803302665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16821058-0.16825852) × cos(-0.35341719) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938195483558859 × 6371000     		du = 286.5490498306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35337222)-sin(-0.35341719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938211046988662-0.938195483558859)×R²
    abs(0.16825852-0.16821058)×1.55634298029117e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55634298029117e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55634298029117e-05×40589641000000     		ar = 82098.0926791723m²