Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69044 / 73072
↖ ↑ ↗
← S 20.262197°
E  9.635010°		 ← 286.53 m → S 20.262197°
E  9.637756°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
S 20.264774°
E  9.635010°		 ← 286.52 m →
82 090 m²		 S 20.264774°
E  9.637756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526767730712891 y=0.557498931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526767730712891 × 217)
    floor (0.526767730712891 × 131072)
    floor (69044.5)     		tx = 69044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557498931884766 × 217)
    floor (0.557498931884766 × 131072)
    floor (73072.5)     		ty = 73072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69044 / 73072 ti = "17/69044/73072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69044/73072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69044 ÷ 217
    69044 ÷ 131072     		x = 0.526763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73072 ÷ 217
    73072 ÷ 131072     		y = 0.5574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526763916015625 × 2 - 1) × π
    0.05352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16816264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.361252475536743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16816264} λ = 0.16816264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361252475536743))-π/2
    2×atan(0.696803050532345)-π/2
    2×0.608577136649177-π/2
    1.21715427329835-1.57079632675     		φ = -0.35364205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16816264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.635010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35364205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.262197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69044 KachelY 73072 0.16816264 -0.35364205 9.635010 -20.262197
    Oben rechts KachelX + 1 69045 KachelY 73072 0.16821058 -0.35364205 9.637756 -20.262197
    Unten links KachelX 69044 KachelY + 1 73073 0.16816264 -0.35368702 9.635010 -20.264774
    Unten rechts KachelX + 1 69045 KachelY + 1 73073 0.16821058 -0.35368702 9.637756 -20.264774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35364205--0.35368702) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dl = 286.50387000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35364205--0.35368702) × R
    4.4970000000033e-05 × 6371000     		dr = 286.50387000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16816264-0.16821058) × cos(-0.35364205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938117634487603 × 6371000     		do = 286.525272720404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16816264-0.16821058) × cos(-0.35368702) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938102059673969 × 6371000     		du = 286.520515771424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35364205)-sin(-0.35368702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938117634487603-0.938102059673969)×R²
    abs(0.16821058-0.16816264)×1.55748136340117e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55748136340117e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55748136340117e-05×40589641000000     		ar = 82089.9180589588m²