Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69042 / 73081
↖ ↑ ↗
← S 20.285385°
E  9.629517°		 ← 286.48 m → S 20.285385°
E  9.632263°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
S 20.287961°
E  9.629517°		 ← 286.48 m →
82 059 m²		 S 20.287961°
E  9.632263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526752471923828 y=0.557567596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526752471923828 × 217)
    floor (0.526752471923828 × 131072)
    floor (69042.5)     		tx = 69042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557567596435547 × 217)
    floor (0.557567596435547 × 131072)
    floor (73081.5)     		ty = 73081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69042 / 73081 ti = "17/69042/73081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69042/73081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69042 ÷ 217
    69042 ÷ 131072     		x = 0.526748657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73081 ÷ 217
    73081 ÷ 131072     		y = 0.557563781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526748657226562 × 2 - 1) × π
    0.053497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16806677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557563781738281 × 2 - 1) × π
    -0.115127563476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.361683907633324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16806677} λ = 0.16806677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361683907633324))-π/2
    2×atan(0.696502492171274)-π/2
    2×0.608374784743315-π/2
    1.21674956948663-1.57079632675     		φ = -0.35404676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16806677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.629517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35404676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.285385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69042 KachelY 73081 0.16806677 -0.35404676 9.629517 -20.285385
    Oben rechts KachelX + 1 69043 KachelY 73081 0.16811471 -0.35404676 9.632263 -20.285385
    Unten links KachelX 69042 KachelY + 1 73082 0.16806677 -0.35409172 9.629517 -20.287961
    Unten rechts KachelX + 1 69043 KachelY + 1 73082 0.16811471 -0.35409172 9.632263 -20.287961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35404676--0.35409172) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35404676--0.35409172) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16806677-0.16811471) × cos(-0.35404676) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937977399804984 × 6371000     		do = 286.482441438691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16806677-0.16811471) × cos(-0.35409172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.937961811386592 × 6371000     		du = 286.477680334468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35404676)-sin(-0.35409172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937977399804984-0.937961811386592)×R²
    abs(0.16811471-0.16806677)×1.55884183919985e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55884183919985e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55884183919985e-05×40589641000000     		ar = 82059.3944909135m²