Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69029 / 72550
↖ ↑ ↗
← S 18.911483°
E  9.593811°		 ← 288.94 m → S 18.911483°
E  9.596558°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
S 18.914082°
E  9.593811°		 ← 288.93 m →
83 481 m²		 S 18.914082°
E  9.596558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526653289794922 y=0.553516387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526653289794922 × 217)
    floor (0.526653289794922 × 131072)
    floor (69029.5)     		tx = 69029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553516387939453 × 217)
    floor (0.553516387939453 × 131072)
    floor (72550.5)     		ty = 72550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69029 / 72550 ti = "17/69029/72550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69029/72550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69029 ÷ 217
    69029 ÷ 131072     		x = 0.526649475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72550 ÷ 217
    72550 ÷ 131072     		y = 0.553512573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526649475097656 × 2 - 1) × π
    0.0532989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16744359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553512573242188 × 2 - 1) × π
    -0.107025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.336229413935074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16744359} λ = 0.16744359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336229413935074))-π/2
    2×atan(0.714459180121396)-π/2
    2×0.620364339072051-π/2
    1.2407286781441-1.57079632675     		φ = -0.33006765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16744359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.593811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33006765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.911483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69029 KachelY 72550 0.16744359 -0.33006765 9.593811 -18.911483
    Oben rechts KachelX + 1 69030 KachelY 72550 0.16749153 -0.33006765 9.596558 -18.911483
    Unten links KachelX 69029 KachelY + 1 72551 0.16744359 -0.33011300 9.593811 -18.914082
    Unten rechts KachelX + 1 69030 KachelY + 1 72551 0.16749153 -0.33011300 9.596558 -18.914082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33006765--0.33011300) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33006765--0.33011300) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16744359-0.16749153) × cos(-0.33006765) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946020419852741 × 6371000     		do = 288.938986788612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16744359-0.16749153) × cos(-0.33011300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946005720626249 × 6371000     		du = 288.934497266483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33006765)-sin(-0.33011300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946020419852741-0.946005720626249)×R²
    abs(0.16749153-0.16744359)×1.46992264917767e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46992264917767e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46992264917767e-05×40589641000000     		ar = 83481.0048640407m²