Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69023 / 44214
↖ ↑ ↗
← N 50.419019°
E  9.577332°		 ← 194.61 m → N 50.419019°
E  9.580078°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.417269°
E  9.577332°		 ← 194.61 m →
37 878 m²		 N 50.417269°
E  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526607513427734 y=0.337329864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526607513427734 × 217)
    floor (0.526607513427734 × 131072)
    floor (69023.5)     		tx = 69023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337329864501953 × 217)
    floor (0.337329864501953 × 131072)
    floor (44214.5)     		ty = 44214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69023 / 44214 ti = "17/69023/44214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69023/44214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69023 ÷ 217
    69023 ÷ 131072     		x = 0.526603698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44214 ÷ 217
    44214 ÷ 131072     		y = 0.337326049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526603698730469 × 2 - 1) × π
    0.0532073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16715597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337326049804688 × 2 - 1) × π
    0.325347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02211057369884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16715597} λ = 0.16715597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02211057369884))-π/2
    2×atan(2.7790539768702)-π/2
    2×1.22538710612715-π/2
    2.4507742122543-1.57079632675     		φ = 0.87997789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16715597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.577332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87997789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.419019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69023 KachelY 44214 0.16715597 0.87997789 9.577332 50.419019
    Oben rechts KachelX + 1 69024 KachelY 44214 0.16720391 0.87997789 9.580078 50.419019
    Unten links KachelX 69023 KachelY + 1 44215 0.16715597 0.87994734 9.577332 50.417269
    Unten rechts KachelX + 1 69024 KachelY + 1 44215 0.16720391 0.87994734 9.580078 50.417269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87997789-0.87994734) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dl = 194.634050000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87997789-0.87994734) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dr = 194.634050000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16715597-0.16720391) × cos(0.87997789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637168185079455 × 6371000     		do = 194.607564432447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16715597-0.16720391) × cos(0.87994734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63719173042449 × 6371000     		du = 194.614755786878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87997789)-sin(0.87994734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637168185079455-0.63719173042449)×R²
    abs(0.16720391-0.16715597)×2.35453450352363e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35453450352363e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35453450352363e-05×40589641000000     		ar = 37877.9582702988m²