Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69021 / 72597
↖ ↑ ↗
← S 19.033560°
E  9.571839°		 ← 288.67 m → S 19.033560°
E  9.574585°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
S 19.036156°
E  9.571839°		 ← 288.66 m →
83 329 m²		 S 19.036156°
E  9.574585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526592254638672 y=0.553874969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526592254638672 × 217)
    floor (0.526592254638672 × 131072)
    floor (69021.5)     		tx = 69021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553874969482422 × 217)
    floor (0.553874969482422 × 131072)
    floor (72597.5)     		ty = 72597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69021 / 72597 ti = "17/69021/72597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69021/72597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69021 ÷ 217
    69021 ÷ 131072     		x = 0.526588439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72597 ÷ 217
    72597 ÷ 131072     		y = 0.553871154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526588439941406 × 2 - 1) × π
    0.0531768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16706010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553871154785156 × 2 - 1) × π
    -0.107742309570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.338482448217217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16706010} λ = 0.16706010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338482448217217))-π/2
    2×atan(0.712851291090104)-π/2
    2×0.619299020667255-π/2
    1.23859804133451-1.57079632675     		φ = -0.33219829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16706010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.571839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33219829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.033560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69021 KachelY 72597 0.16706010 -0.33219829 9.571839 -19.033560
    Oben rechts KachelX + 1 69022 KachelY 72597 0.16710803 -0.33219829 9.574585 -19.033560
    Unten links KachelX 69021 KachelY + 1 72598 0.16706010 -0.33224360 9.571839 -19.036156
    Unten rechts KachelX + 1 69022 KachelY + 1 72598 0.16710803 -0.33224360 9.574585 -19.036156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33219829--0.33224360) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dl = 288.670009999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33219829--0.33224360) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dr = 288.670009999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16706010-0.16710803) × cos(-0.33219829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.945327717689302 × 6371000     		do = 288.667190888882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16706010-0.16710803) × cos(-0.33224360) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.945312940134773 × 6371000     		du = 288.662678384832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33219829)-sin(-0.33224360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945327717689302-0.945312940134773)×R²
    abs(0.16710803-0.16706010)×1.47775545299433e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.47775545299433e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.47775545299433e-05×40589641000000     		ar = 83328.909582461m²